أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
اكتساب البيانات وأخذ العينات
- معيار نيكويست
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- تردد التداخل الطيفي
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- حجم الخطوة
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- خطأ التكميم (بالتقريب)
- ±½ LSB
- رمز المحوّل مع البتر
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- عدد البتات لدقة r
- 2ᴺ ≥ span/r
- نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- معدل البيانات
- القنوات × fs × N بت/ث
- محوّل ADC متعدد القنوات
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
- مقسّم معدل الباود
- baud = fclk/(16·D)
الطريقة
- دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
- في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
- في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
- في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
اكتب −19 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟
N = −198 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
ما أكبر عدد صحيح بلا إشارة N يتسع في 16 بتة؟
16 bit
N =
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 4). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 4)
N =
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
ساعة 5 kHz تقود عدّاد mod-8. جد تردد fout خرجه الأعلى وزنًا، الذي يُكمل دورة واحدة لكل دورة عدّ.
fclk = 5 kHzN = 8
fout = kHz
5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
يرسل UART بايتات بمعدل 1200 baud بالصيغة 8N1: 8 بتات بيانات، بلا تكافؤ، و1 بت إيقاف، إضافة إلى بت البدء. أوجد أكبر عدد من بايتات البيانات في الثانية يستطيع نقله.
baud = 1200 Bd8N1
RB = B/s
6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
يبث محوّل ADC بـ 24 بت كل عينة عبر UART بمعدل 460800 baud وبالصيغة 8N1 (بت بدء، و8 بتات بيانات، وبت إيقاف واحد). تُرسل كل عينة في 3 بايت كاملة والوصلة مشغولة طوال الوقت. أوجد أعلى تردد للإشارة fmax يمكن أخذ عيناته دون تداخل طيفي، بوحدة Hz.
baud = 460800 BdN = 248N1
fmax = Hz
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: U = 237
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
اقلب وأضف واحدًا
19 = 0001 0011
مقلوب: 1110 1100
+1 → 1110 1101
اقرأه بلا إشارة
1110 1101₂ = 256 − 19 = 237
الإجابة
U = 237
2.أنظمة العد
الإجابة: N = 65535
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
أكبر قيمة
216 − 1 = 65535
الإجابة
N = 65535
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: N = 2
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جمّع الأصفار
كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.
(A′ + C′)
(A′ + B′)
الصيغة الدنيا POS
F = (A′ + C′)(A′ + B′)
N = 2
الإجابة
N = 2
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: fout = 0,625 kHz
القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.
قسمة التردد
fout = 5 kHz / 8 = 0,625 kHz
الإجابة
fout = 0,625 kHz
5.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: RB = 120 B/s
UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد Tb = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = fclk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.
البتات في الإطار
1 + 8 + 0 + 1 = 10
معدل البايتات
1200/10 = 120 B/s
الإجابة
RB = 120 B/s
6.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fmax = 7680 Hz
UART: وصلة تسلسلية غير متزامنة ترسل كل بايت في إطار: بت بدء واحد (منخفض)، وبتات البيانات، وبت تكافؤ اختياري، وبت إيقاف أو بتّا إيقاف (مرتفع). معدل الباود هو عدد البتات في الثانية، لذا يستغرق البت الواحد Tb = 1/baud ويستغرق إطار من n بت زمن n/baud. للصيغة الشائعة 8N1 عشرة بتات لكل بايت. يقسم مولّد الباود تردد الساعة: baud = fclk/(16·D) مع عدد صحيح D، فيختلف معدل الباود الفعلي قليلًا عن المطلوب؛ وخطأ أقل من نحو 2 % مقبول عادةً.
البتات لكل عينة على الخط
3·10 = 30 bit
أعلى معدل لأخذ العينات
fs,max = 460800/30 = 15360 Hz
حد نيكويست
fmax = 15360/2 = 7680 Hz
الإجابة
fmax = 7680 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics