أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
اكتساب البيانات وأخذ العينات
- معيار نيكويست
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- تردد التداخل الطيفي
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- حجم الخطوة
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- خطأ التكميم (بالتقريب)
- ±½ LSB
- رمز المحوّل مع البتر
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- عدد البتات لدقة r
- 2ᴺ ≥ span/r
- نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- معدل البيانات
- القنوات × fs × N بت/ث
- محوّل ADC متعدد القنوات
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
- مقسّم معدل الباود
- baud = fclk/(16·D)
الطريقة
- دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
- في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
- في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
- في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
اضبط البتات بحيث تخزن −88 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟
N = −888 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0011 0111 << 3. ما قيمة الناتج R بالعشري؟
0011 0111<< 3
R =
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.
F = Σm(1, 3, 4, 5, 10, 13)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 8, 10, 11) + d(13, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 6, 8, 10, 11) + d(13, 14)
N =
5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
تؤخذ عينات موجة جيبية 850 Hz بمعدل 1 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد fa تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة Hz.
f = 850 Hzfs = 1 kHz
fa = Hz
6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
يغذّي مضاعِف بـ 8 قنوات محوّل ADC واحدًا. يستغرق كل تحويل 20 µs، وبعد كل تبديل للقناة يحتاج الدخل إلى 2 µs ليستقر. تُمسح القنوات بالتناوب دون توقف. أوجد معدل أخذ العينات fs لكل قناة، بوحدة kHz.
n = 8tc = 20 µstset = 2 µs
fs = kHz
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: U = 168
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
اقلب وأضف واحدًا
88 = 0101 1000
مقلوب: 1010 0111
+1 → 1010 1000
اقرأه بلا إشارة
1010 1000₂ = 256 − 88 = 168
الإجابة
U = 168
2.أنظمة العد
الإجابة: R = 184
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
بتًا ببت
الإزاحة إلى اليسار بمقدار 3 تنقل كل بت 3 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.
0011 0111 << 3
= 1011 1000
قيمة الناتج
1011 1000₂ = 184
الإجابة
R = 184
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: AB = 10, CD = 10
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جيران كل 1
يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.
m10: m11, m8, m14, m2 → 0
الـ 1 المعزول
m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10
الإجابة
AB = 10, CD = 10
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: N = 4
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
المضمّنات الأولية
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
CD′, AB′D′, AB′C, A′B′C′D
التغطية الدنيا
F = CD′ + AB′D′ + AB′C + A′B′C′D
N = 4
الإجابة
N = 4
5.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fa = 150 Hz
أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة fs مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < fs/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند fa = |f − k·fs|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وfs/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على fs/2 قبل محوّل ADC.
تردد نيكويست
fs/2 = 500 Hz < f = 850 Hz
أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات
k = round(850/1000) = 1
تردد التداخل الطيفي
fa = |850 − 1·1000| = 150 Hz
الإجابة
fa = 150 Hz
المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.
6.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fs = 5,682 kHz
معدلات البيانات: تسلّم كل قناة fs عينة في الثانية، كل منها N بت، فيكون المعدل الخام القنوات × fs × N bit/s. وفي الذاكرة تشغل العينة عددًا صحيحًا من البايتات (عينة 12 بت تُخزَّن في بايتين)، فتكون الذاكرة اللازمة لتسجيل ما يساوي القنوات × fs × البايتات لكل عينة × الزمن. يحوّل محوّل ADC متعدد القنوات القنوات واحدة تلو الأخرى: يستغرق كل تحويل (مع زمن الاستقرار) t، فتستغرق جولة n قناة n·t وتُؤخذ عينات كل قناة بمعدل 1/(n·t).
الزمن لكل قناة
20 + 2 = 22 µs
الزمن لكل مسح
8·22 = 176 µs
معدل أخذ العينات لكل قناة
fs = 1/176 µs = 5,682 kHz
الإجابة
fs = 5,682 kHz
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics