أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
اكتساب البيانات وأخذ العينات
- معيار نيكويست
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- تردد التداخل الطيفي
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- حجم الخطوة
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- خطأ التكميم (بالتقريب)
- ±½ LSB
- رمز المحوّل مع البتر
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- عدد البتات لدقة r
- 2ᴺ ≥ span/r
- نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- معدل البيانات
- القنوات × fs × N بت/ث
- محوّل ADC متعدد القنوات
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
- مقسّم معدل الباود
- baud = fclk/(16·D)
الطريقة
- دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
- في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
- في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
- في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
اكتب −10 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟
N = −108 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0011 1100 << 3. ما قيمة الناتج R بالعشري؟
0011 1100<< 3
R =
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.
F = Σm(3, 6, 8, 11, 12, 13)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 7, 10, 11, 12) + d(2, 5, 13)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟
F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 7, 10, 11, 12) + d(2, 5, 13)
L =
5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
تؤخذ عينات موجة جيبية 1,3 kHz بمعدل 1 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد fa تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة Hz.
f = 1,3 kHzfs = 1 kHz
fa = Hz
6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
يتطلب قياس صوتي نسبة إشارة إلى ضجيج تكميم مثالية لا تقل عن 65 dB لموجة جيبية بمدى كامل. أوجد أصغر عدد من بتات ADC N.
SQNR ≥ 65 dB
N =
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: U = 246
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
اقلب وأضف واحدًا
10 = 0000 1010
مقلوب: 1111 0101
+1 → 1111 0110
اقرأه بلا إشارة
1111 0110₂ = 256 − 10 = 246
الإجابة
U = 246
2.أنظمة العد
الإجابة: R = 224
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
بتًا ببت
الإزاحة إلى اليسار بمقدار 3 تنقل كل بت 3 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.
0011 1100 << 3
= 1110 0000
قيمة الناتج
1110 0000₂ = 224
الإجابة
R = 224
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: AB = 01, CD = 10
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جيران كل 1
يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.
m6: m7, m4, m2, m14 → 0
الـ 1 المعزول
m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10
الإجابة
AB = 01, CD = 10
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: L = 7
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
المضمّنات الأولية
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
B′C, A′C, A′BD, ABC′
التغطية الدنيا
F = B′C + A′C + ABC′
L = 7
الإجابة
L = 7
5.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fa = 300 Hz
أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة fs مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < fs/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند fa = |f − k·fs|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وfs/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على fs/2 قبل محوّل ADC.
تردد نيكويست
fs/2 = 500 Hz < f = 1,3 kHz
أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات
k = round(1300/1000) = 1
تردد التداخل الطيفي
fa = |1300 − 1·1000| = 300 Hz
الإجابة
fa = 300 Hz
المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.
6.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: N = 11
دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.
حلّ لإيجاد N
N ≥ (65 − 1,76)/6,02 = 10,5
قرّب إلى الأعلى
N = 11
تحقّق: 6,02·11 + 1,76 = 67,98 dB ≥ 65 dB
الإجابة
N = 11
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics