أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
اكتساب البيانات وأخذ العينات
- معيار نيكويست
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- تردد التداخل الطيفي
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- حجم الخطوة
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- خطأ التكميم (بالتقريب)
- ±½ LSB
- رمز المحوّل مع البتر
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- عدد البتات لدقة r
- 2ᴺ ≥ span/r
- نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- معدل البيانات
- القنوات × fs × N بت/ث
- محوّل ADC متعدد القنوات
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
- مقسّم معدل الباود
- baud = fclk/(16·D)
الطريقة
- دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
- في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
- في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
- في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
اضبط البتات بحيث تخزن −20 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟
N = −208 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 1011 1011 AND 1001 0000. ما قيمة الناتج R بالعشري؟
1011 1011AND1001 0000
R =
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.
F = Σm(0, 1, 7, 9, 10, 11, 12, 15)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 8, 10, 11, 13) + d(5, 6)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 8, 10, 11, 13) + d(5, 6)
L =
5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
يأخذ مسجّل عينات من قناة واحدة بمعدل 10 kHz بمحوّل ADC بـ 16 بت. تُخزَّن كل عينة في عدد صحيح من البايتات. أوجد الذاكرة M اللازمة لتسجيل مدته 2 min، بوحدة MB (1 MB = 10⁶ بايت).
n = 1fs = 10 kHzN = 16t = 2 min
M = MB
6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
تؤخذ عينات موجة مربعة 2,8 kHz بمعدل 10 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. تحتوي الموجة المربعة على التوافقيات الفردية 3f₁ و5f₁ و7f₁ وهكذا. عند أي تردد fa يظهر التوافقي 5f₁ في البيانات المأخوذة؟ أعطه بوحدة kHz.
f₁ = 2,8 kHzfs = 10 kHzالتوافقي: 5f₁
fa = kHz
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: U = 236
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
اقلب وأضف واحدًا
20 = 0001 0100
مقلوب: 1110 1011
+1 → 1110 1100
اقرأه بلا إشارة
1110 1100₂ = 256 − 20 = 236
الإجابة
U = 236
2.أنظمة العد
الإجابة: R = 144
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
بتًا ببت
تعطي AND القيمة 1 حيث يكون البتان 1 فقط.
1011 1011
AND 1001 0000
= 1001 0000
قيمة الناتج
1001 0000₂ = 144
الإجابة
R = 144
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: AB = 11, CD = 00
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جيران كل 1
يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.
m12: m13, m14, m8, m4 → 0
الـ 1 المعزول
m12 = ABC′D′ → AB = 11, CD = 00
الإجابة
AB = 11, CD = 00
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: L = 7
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
المضمّنات الأولية
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
B′D′, B′C, BC′D, A′CD′
التغطية الدنيا
F = B′D′ + B′C + BC′D
L = 7
الإجابة
L = 7
5.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: M = 2,4 MB
معدلات البيانات: تسلّم كل قناة fs عينة في الثانية، كل منها N بت، فيكون المعدل الخام القنوات × fs × N bit/s. وفي الذاكرة تشغل العينة عددًا صحيحًا من البايتات (عينة 12 بت تُخزَّن في بايتين)، فتكون الذاكرة اللازمة لتسجيل ما يساوي القنوات × fs × البايتات لكل عينة × الزمن. يحوّل محوّل ADC متعدد القنوات القنوات واحدة تلو الأخرى: يستغرق كل تحويل (مع زمن الاستقرار) t، فتستغرق جولة n قناة n·t وتُؤخذ عينات كل قناة بمعدل 1/(n·t).
البايتات لكل عينة
⌈16/8⌉ = 2 B
معدل البايتات
1·10000·2 = 20000 B/s
الذاكرة
M = 20000·120 = 2,4 × 10⁶ B = 2,4 MB
الإجابة
M = 2,4 MB
6.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fa = 4 kHz
أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة fs مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < fs/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند fa = |f − k·fs|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وfs/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على fs/2 قبل محوّل ADC.
تردد التوافقي
5f₁ = 5·2,8 kHz = 14 kHz
أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات
m = round(1,4) = 1
تردد التداخل الطيفي
fa = |14 − 1·10| = 4 kHz
الإجابة
fa = 4 kHz
يقع التردد المستعار داخل نطاق الإشارة، حيث لا يستطيع أي مرشح رقمي إزالته. لا يفيد إلا مرشح تماثلي قبل محوّل ADC.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics