أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
اكتساب البيانات وأخذ العينات
- معيار نيكويست
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- تردد التداخل الطيفي
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- حجم الخطوة
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- خطأ التكميم (بالتقريب)
- ±½ LSB
- رمز المحوّل مع البتر
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- عدد البتات لدقة r
- 2ᴺ ≥ span/r
- نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل
- SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
- معدل البيانات
- القنوات × fs × N بت/ث
- محوّل ADC متعدد القنوات
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
- مقسّم معدل الباود
- baud = fclk/(16·D)
الطريقة
- دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
- في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع fs/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند fa = |f − k·fs| حيث يكون k·fs أقرب مضاعف لـ fs.
- في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = VFSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
- في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
النمط ذو 8 بتات 1100 0010 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟
1100 00108 bit
N =
2.أنظمة العدصعبة
صورة غير مضغوطة أبعادها 256 × 256 بكسل و8 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟
256 × 256 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات (SOP) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 15). كم حد جداء N فيها؟
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 15)
N =
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
قلّاب JK يُحفَّز بالحافة الموجبة يبدأ بـ Q = 0 ويتلقى المداخل المعروضة. انقر على أول حافة ساعة ينتقل عندها Q من 1 عائدًا إلى 0.
Q₀ = 0JK
- 1حافة الساعة 1
- 2حافة الساعة 2
- 3حافة الساعة 3
- 4حافة الساعة 4
- 5حافة الساعة 5
- 6حافة الساعة 6
- 7حافة الساعة 7
5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة
تؤخذ عينات موجة جيبية 1,15 kHz بمعدل 1 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. عند أي تردد fa تظهر في العينات؟ أعطه بوحدة Hz.
f = 1,15 kHzfs = 1 kHz
fa = Hz
6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة
يعطي مستشعر حرارة 10 mV/°C (0 V عند 0 °C). تُكبَّر إشارته 20 مرة وتُغذّى إلى محوّل ADC بـ 8 بت ومدى من 0 إلى 5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). أوجد تغيّر الحرارة ΔTLSB الذي يقابل LSB واحدًا.
S = 10 mV/°CG = 20N = 8VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: N = −62
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
اجمع القيم
تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.
−128 + 64 + 2 = −62
الإجابة
N = −62
2.أنظمة العد
الإجابة: M = 64 KiB
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
البتات والبايتات
256·256·8 = 524288 bit = 65536 B
حوّل إلى KiB
65536/1024 = 64 KiB
الإجابة
M = 64 KiB
3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: N = 5
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جمّع الآحاد
كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.
CD
B′D
BC′D′
A′C′D′
A′BD′
الصيغة الدنيا SOP
F = CD + B′D + BC′D′ + A′C′D′ + A′BD′
N = 5
الإجابة
N = 5
يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.
4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: حافة الساعة 5
القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.
Q بعد كل حافة
قلّاب JK: 00 يحتفظ، 01 يصفّر (Q = 0)، 10 يضبط (Q = 1)، 11 يتبدّل.
1: J = 1, K = 1 → Q = 1
2: J = 0, K = 0 → Q = 1
3: J = 0, K = 0 → Q = 1
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 1, K = 1 → Q = 0
6: J = 0, K = 0 → Q = 0
7: J = 1, K = 0 → Q = 1
أول تغير من 1 إلى 0
حافة الساعة 5
الإجابة
حافة الساعة 5
5.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: fa = 150 Hz
أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة fs مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < fs/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند fa = |f − k·fs|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وfs/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على fs/2 قبل محوّل ADC.
تردد نيكويست
fs/2 = 500 Hz < f = 1,15 kHz
أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات
k = round(1150/1000) = 1
تردد التداخل الطيفي
fa = |1150 − 1·1000| = 150 Hz
الإجابة
fa = 150 Hz
المنحنى المتقطع في الشكل هو التردد المستعار: إنه يمر بالعينات نفسها تمامًا.
6.اكتساب البيانات وأخذ العينات
الإجابة: ΔTLSB = 0,09766 °C
دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل VFSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = VFSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊Vin/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.
حجم الخطوة
1 LSB = 5000/256 = 19,53 mV
الحساسية عند ADC
10·20 = 200 mV/°C
دقة قياس الحرارة
ΔTLSB = 19,53/200 = 0,09766 °C
الإجابة
ΔTLSB = 0,09766 °C
يبلغ ADC المقياس الكامل عند 25 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics