الإلكترونيات الرقمية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1101 1001 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1101 10018 bit

N =

2.أنظمة العدصعبة

يجب أن يعطي نظام كل واحد من 4445 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟

4445

b = bit

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = BC′ + A′B′C′ + ABC′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = BC′ + A′B′C′ + ABC′

L =

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 8) + d(2, 3, 4, 12, 13, 14, 15)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 8) + d(2, 3, 4, 12, 13, 14, 15)

L =

5.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

يأخذ مسجّل عينات من قناة واحدة بمعدل 10 kHz بمحوّل ADC بـ 16 بت. تُخزَّن كل عينة في عدد صحيح من البايتات. أوجد الذاكرة M اللازمة لتسجيل مدته 30 min، بوحدة MB (1 MB = 10⁶ بايت).

n = 1f_s = 10 kHzN = 16t = 30 min

M = MB

6.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

يتطلب قياس صوتي نسبة إشارة إلى ضجيج تكميم مثالية لا تقل عن 75 dB لموجة جيبية بمدى كامل. أوجد أصغر عدد من بتات ADC N.

SQNR ≥ 75 dB

N =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −39

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 16 + 8 + 1 = −39

الإجابة

N = −39

2.أنظمة العد

الإجابة: b = 13 bit

قوى العدد 2

2¹² = 4096 < 4445

2¹³ = 8192 ≥ 4445

الإجابة

b = 13

3.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 4

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

BC′ → m(2, 6)

A′B′C′ → m(0)

ABC′ → m(6)

جمّع واقرأ

F = BC′ + A′C′

عُدّ الحروف

L = 4

الإجابة

L = 4

4.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 6

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

C′D′, BD′, BC′, A′D′, A′C′, A′B′

التغطية الدنيا

F = C′D′ + BD′ + A′C′

L = 6

الإجابة

L = 6

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

5.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: M = 36 MB

معدلات البيانات: تسلّم كل قناة f_s عينة في الثانية، كل منها N بت، فيكون المعدل الخام القنوات × f_s × N bit/s. وفي الذاكرة تشغل العينة عددًا صحيحًا من البايتات (عينة 12 بت تُخزَّن في بايتين)، فتكون الذاكرة اللازمة لتسجيل ما يساوي القنوات × f_s × البايتات لكل عينة × الزمن. يحوّل محوّل ADC متعدد القنوات القنوات واحدة تلو الأخرى: يستغرق كل تحويل (مع زمن الاستقرار) t، فتستغرق جولة n قناة n·t وتُؤخذ عينات كل قناة بمعدل 1/(n·t).

البايتات لكل عينة

⌈16/8⌉ = 2 B

معدل البايتات

1·10000·2 = 20000 B/s

الذاكرة

M = 20000·1800 = 3,6 × 10⁷ B = 36 MB

الإجابة

M = 36 MB

6.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: N = 13

دقة ADC: يقسّم المحوّل ذو N بت مدى المقياس الكامل V_FSR إلى 2ᴺ رمزًا، من 0 إلى 2ᴺ − 1. الخطوة الواحدة هي 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: أصغر تغيّر يستطيع المحوّل إظهاره. يعطي المحوّل ذو البتر الرمز ⌊V_in/LSB⌋؛ أما المحوّل ذو التقريب فلا يبعد أبدًا أكثر من ½ LSB عن القيمة الحقيقية، وهذا خطأ التكميم له. كل بت إضافي يُنصّف LSB ويضيف نحو 6 dB إلى نسبة الإشارة إلى ضجيج التكميم المثالية SQNR = 6,02·N + 1,76 dB لموجة جيبية بمدى كامل. لبلوغ دقة r على مدى معيّن، اختر أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/r.

حلّ لإيجاد N

N ≥ (75 − 1,76)/6,02 = 12,17

قرّب إلى الأعلى

N = 13

تحقّق: 6,02·13 + 1,76 = 80,02 dB ≥ 75 dB

الإجابة

N = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics