درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 80.
μ = 60σ = 10x = 80
z =
5.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 30 مفردة متوسطها 106 وانحرافها المعياري s = 4,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.
n = 30x̄ = 106s = 4,599%t(29) = 2,756
E =
6.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 32. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 4 على الأكثر؟
σ = 32E = 490%
n =
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 500؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 36. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 507,5. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ ≠ 500. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 500σ = 36n = 144x̄ = 507,5H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 2,5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
نسبة الاحتمال الإيجابية
LR+ = 0,71/(1 − 0,66) = 2,088 ≈ 2,09
الإجابة
LR+ = 2,09
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 69,7 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR+ = 0,76/(1 − 0,67) = 2,303
الأرجحية قبل الاختبار
0,5/(1 − 0,5) = 1
الأرجحية بعد الاختبار
1·2,303 = 2,303
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 2,303/(1 + 2,303) = 0,6972 ≈ 69,7%
الإجابة
p′ = 69,7%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 15,48
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (80 − 60)/10 = 2
الإجابة
z = 2
5.فترات الثقة
الإجابة: E = 2,264
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 29, t = 2,756
هامش الخطأ
E = 2,756·4,5/√30 = 2,264
الإجابة
E = 2,264
6.فترات الثقة
الإجابة: n = 174
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·32/4)² = 173,2
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 174
الإجابة
n = 174
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,01242
اختبار الفرضيات: إحصائية الاختبار = (التقدير − القيمة وفق H₀)/(الخطأ المعياري وفق H₀). القيمة الاحتمالية (p-value) هي احتمال الحصول، بافتراض صحة H₀، على إحصائية متطرفة على الأقل بقدر الإحصائية المرصودة: المساحة في ذيل واحد لـ H₁ أحادية الطرف، وضعف مساحة الذيل لـ H₁ ثنائية الطرف. تُرفض H₀ عندما p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (507,5 − 500)/3 = 2,5
مساحة الذيل
Φ(2,5) = 0,9938
1 − Φ(2,5) = 0,0062
القيمة الاحتمالية
p = 2·0,0062 = 0,01242
الإجابة
p = 0,01242
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 64
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.