كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 120؟
μ = 100σ = 20x = 120
P =
5.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 21 مفردة متوسطها 37 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 21x̄ = 37s = 490%t(20) = 1,725
الحد الأدنى =
6.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 22. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟
σ = 22E = 399%
n =
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 8 طالبًا، متوسط الدرجة 84,5، الانحراف المعياري 9. المجموعة 2: 9 طالبًا، متوسط الدرجة 91,9، الانحراف المعياري 2. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).
n₁ = 8x̄₁ = 84,5s₁ = 9n₂ = 9x̄₂ = 91,9s₂ = 2
t =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 16 قياسًا متوسطها 76. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 76σ = 4n = 1699%
L =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: LR− = 0,24
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
نسبة الاحتمال السلبية
LR− = (1 − 0,8)/0,82 = 0,2439 ≈ 0,24
الإجابة
LR− = 0,24
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 45,5 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR+ = 0,8/(1 − 0,76) = 3,333
الأرجحية قبل الاختبار
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
الأرجحية بعد الاختبار
0,25·3,333 = 0,8333
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 0,8333/(1 + 0,8333) = 0,4545 ≈ 45,5%
الإجابة
p′ = 45,5%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,45
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
5.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 35,49
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 20, t = 1,725
هامش الخطأ
E = 1,725·4/√21 = 1,506
الفترة
37 ± 1,506 → [35,49, 38,51]
الإجابة
الحد الأدنى = 35,49
6.فترات الثقة
الإجابة: n = 357
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·22/3)² = 356,9
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 357
الإجابة
n = 357
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,41
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
التباين المجمَّع
sp² = (7·9² + 8·2²)/15 = 39,93
sp = 6,319
الخطأ المعياري
SE = 6,319·√(1/8 + 1/9) = 3,071
إحصائية الاختبار
t = (84,5 − 91,9)/3,071 = −2,41
الإجابة
t = −2,41
مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 73,42
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).