درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 80.
μ = 70σ = 10x = 80
z =
5.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −3,3 وانحرافها المعياري 3,7. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.
n = 7d̄ = −3,3sd = 3,795%t(6) = 2,447
E = mmHg
6.فترات الثقةصعبة
لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,04 على الأكثر؟
p = 0,5E = 0,0495%
n =
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 100 جزءًا متوسط طولها 112 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 8 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 109,1 mm، والانحراف المعياري المعلوم 3 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
نسبة الاحتمال الإيجابية
LR+ = 0,74/(1 − 0,65) = 2,114 ≈ 2,11
الإجابة
LR+ = 2,11
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 12,9 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR+ = 0,93/(1 − 0,67) = 2,818
الأرجحية قبل الاختبار
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
الأرجحية بعد الاختبار
0,05263·2,818 = 0,1483
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 0,1483/(1 + 0,1483) = 0,1292 ≈ 12,9%
الإجابة
p′ = 12,9%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,42
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (80 − 70)/10 = 1
الإجابة
z = 1
5.فترات الثقة
الإجابة: E = 3,422 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 6, t = 2,447
هامش الخطأ
E = 2,447·3,7/√7 = 3,422
الإجابة
E = 3,422 mmHg
6.فترات الثقة
الإجابة: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
قرّب إلى الأعلى
n = 601
الإجابة
n = 601
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,991
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(8²/100 + 3²/30) = √0,94 = 0,9695
إحصائية الاختبار
z = (112 − 109,1)/0,9695 = 2,991
الإجابة
z = 2,991
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 358
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.