اقرأ الحساسية والنوعية على الأعمدة، والقيم التنبؤية على الصفوف.
لانتشار آخر، تخيّل 10 000 شخص واملأ الجدول بـ Se وSp والانتشار.
لنسبة الاحتمال، حوّل الاحتمال إلى أرجحية، واضرب، ثم حوّل مجددًا.
للتجربة، أوجد EER وCER أولًا؛ ثم RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإحصاء الوصفي
المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
فترات الثقة
σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
2مسائل تدريبية
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلمتوسطة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). في دراسة أترابية، ساهم المعرَّضون بـ 6100 سنة-شخص مع 37 حالات جديدة، وغير المعرَّضين بـ 5100 سنة-شخص مع 10 حالات جديدة. أوجد نسبة معدل الإصابة IRR (المعرَّضون مقابل غير المعرَّضين). قرّب إلى منزلتين عشريتين.
معرَّضون: 37/6100 PYغير معرَّضين: 10/5100 PY
IRR =
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلصعبة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). اختبار فحص حساسيته 98% ونوعيته 85%. يُستخدم في مجتمع يبلغ فيه الانتشار 1%. أوجد القيمة التنبؤية الإيجابية PPV كنسبة مئوية. قرّب إلى منزلة عشرية واحدة.
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 73؟
μ = 70σ = 5x = 73
P =
5.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 1,2. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 100 مشاهدة؟
99%n₁ = 25E₁ = 1,295%n₂ = 100
E₂ =
6.فترات الثقةصعبة
لأقطار 25 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 6 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 24، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 12,401 و 2,5% فوق 39,364.
n = 25s = 6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 72,2 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,2s = 20n = 100
t =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 15 من 100 مريضًا على العلاج A، و 6 من 150 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 6n₂ = 150
z =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: IRR = 3,09
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
معدلات الإصابة
معرَّضون: 37/6100 = 6,066 لكل 1000 سنة-شخص
غير معرَّضين: 10/5100 = 1,961 لكل 1000 سنة-شخص
نسبة المعدلين
IRR = 6,066/1,961 = 3,093 ≈ 3,09
الإجابة
IRR = 3,09
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: PPV = 6,2 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإيجابيون الحقيقيون والكاذبون (لكل شخص)
Se·p = 0,98·0,01 = 0,0098
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,15·0,99 = 0,1485
القيمة التنبؤية الإيجابية
PPV = 0,0098/(0,0098 + 0,1485) = 0,06191 ≈ 6,2%
الإجابة
PPV = 6,2%
كلما انخفض الانتشار انخفضت PPV للاختبار نفسه.
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,99
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,6
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
الإجابة
P = 0,7257
5.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 0,4565
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/100) = 0,3804
الهامش الجديد
E₂ = 1,2·0,3804 = 0,4565
الإجابة
E₂ = 0,4565
6.فترات الثقة
الإجابة: σ = 4,685 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 24·6² = 864
حدّا σ²
864/39,364 = 21,95
864/12,401 = 69,67
حدّ σ
σ = √21,95 = 4,685 µm
الإجابة
σ = 4,685 µm
فترة 95% لـ σ: [4,685, 8,347] µm.
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
إحصائية الاختبار
t = (72,2 − 75)/2 = −1,4
الإجابة
t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 3,072
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 15/100 = 0,15
p̂₂ = 6/150 = 0,04
p̂ = 21/250 = 0,084
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,084·0,916·(1/100 + 1/150)) = 0,03581
إحصائية الاختبار
z = (0,15 − 0,04)/0,03581 = 3,072
الإجابة
z = 3,072
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).