اقرأ الحساسية والنوعية على الأعمدة، والقيم التنبؤية على الصفوف.
لانتشار آخر، تخيّل 10 000 شخص واملأ الجدول بـ Se وSp والانتشار.
لنسبة الاحتمال، حوّل الاحتمال إلى أرجحية، واضرب، ثم حوّل مجددًا.
للتجربة، أوجد EER وCER أولًا؛ ثم RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإحصاء الوصفي
المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
فترات الثقة
σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
2مسائل تدريبية
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلمتوسطة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). قورن اختبار جديد بالمعيار المرجعي في دراسة (انظر الجدول 2 × 2). أوجد نسبة الاحتمال السلبية LR−. قرّب إلى منزلتين عشريتين.
a = 281b = 9c = 99d = 101
LR− =
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلصعبة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). اختبار فحص حساسيته 85% ونوعيته 90%. يُستخدم في مجتمع يبلغ فيه الانتشار 2%. أوجد القيمة التنبؤية السلبية NPV كنسبة مئوية. قرّب إلى منزلة عشرية واحدة.
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 575.
μ = 500σ = 50x = 575
z =
5.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 145 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 147 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 9,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.
n = 21s = 9,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 8 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −3,22 والانحراف المعياري للفروق 4,8. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −3,22sd = 4,8
t =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 125 من 250 مريضًا على العلاج A، و 78 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 78n₂ = 200
z =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: LR− = 0,28
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
الحساسية والنوعية
Se = 281/380 = 0,7395
Sp = 101/110 = 0,9182
نسبة الاحتمال السلبية
LR− = (1 − 0,7395)/0,9182 = 0,2837 ≈ 0,28
الإجابة
LR− = 0,28
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: NPV = 99,7 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
السلبيون الحقيقيون والكاذبون (لكل شخص)
Sp·(1 − p) = 0,9·0,98 = 0,882
(1 − Se)·p = 0,15·0,02 = 0,003
القيمة التنبؤية السلبية
NPV = 0,882/(0,882 + 0,003) = 0,9966 ≈ 99,7%
الإجابة
NPV = 99,7%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,53
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (575 − 500)/50 = 1,5
الإجابة
z = 1,5
5.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 1,391 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 145 − 147 = −2
الخطأ المعياري
SE = √(14²/80 + 12²/80) = 2,062
هامش الخطأ
E = 1,645·2,062 = 3,391
الفترة
−2 ± 3,391 → [−5,391, 1,391]
الإجابة
الحد الأعلى = 1,391 h
الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.
6.فترات الثقة
الإجابة: σ = 14,3 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 20·9,9² = 1960
حدّا σ²
1960/34,17 = 57,37
1960/9,591 = 204,4
حدّ σ
σ = √204,4 = 14,3 µm
الإجابة
σ = 14,3 µm
فترة 95% لـ σ: [7,574, 14,3] µm.
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,897
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 4,8/√8 = 1,697
إحصائية الاختبار
t = −3,22/1,697 = −1,897
الإجابة
t = −1,897
مع df = 7، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,365؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,33
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 125/250 = 0,5
p̂₂ = 78/200 = 0,39
p̂ = 203/450 = 0,4511
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,4511·0,5489·(1/250 + 1/200)) = 0,04721
إحصائية الاختبار
z = (0,5 − 0,39)/0,04721 = 2,33
الإجابة
z = 2,33
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).