كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 70؟
μ = 50σ = 10x = 70
P =
5.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 16 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 3,1 وانحرافها المعياري 1,4. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.
n = 16d̄ = 3,1sd = 1,499%t(15) = 2,947
E = mmHg
6.فترات الثقةصعبة
لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,01 على الأكثر؟
p = 0,5E = 0,0190%
n =
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 126,8 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 126,8s = 20n = 25
t =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 81 قياسًا متوسطها 73,4. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 73,4σ = 5n = 8190%
L =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: LR+ = 5,71
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
نسبة الاحتمال الإيجابية
LR+ = 0,8/(1 − 0,86) = 5,714 ≈ 5,71
الإجابة
LR+ = 5,71
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 47,7 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR+ = 0,82/(1 − 0,9) = 8,2
الأرجحية قبل الاختبار
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
الأرجحية بعد الاختبار
0,1111·8,2 = 0,9111
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 0,9111/(1 + 0,9111) = 0,4767 ≈ 47,7%
الإجابة
p′ = 47,7%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
5.فترات الثقة
الإجابة: E = 1,031 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 15, t = 2,947
هامش الخطأ
E = 2,947·1,4/√16 = 1,031
الإجابة
E = 1,031 mmHg
6.فترات الثقة
الإجابة: n = 6766
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765
قرّب إلى الأعلى
n = 6766
الإجابة
n = 6766
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,7
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
إحصائية الاختبار
t = (126,8 − 120)/4 = 1,7
الإجابة
t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 72,49
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).