اقرأ الحساسية والنوعية على الأعمدة، والقيم التنبؤية على الصفوف.
لانتشار آخر، تخيّل 10 000 شخص واملأ الجدول بـ Se وSp والانتشار.
لنسبة الاحتمال، حوّل الاحتمال إلى أرجحية، واضرب، ثم حوّل مجددًا.
للتجربة، أوجد EER وCER أولًا؛ ثم RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإحصاء الوصفي
المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
فترات الثقة
σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
2مسائل تدريبية
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلمتوسطة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). قورن اختبار جديد بالمعيار المرجعي في دراسة (انظر الجدول 2 × 2). أوجد نسبة الاحتمال الإيجابية LR+. قرّب إلى منزلتين عشريتين.
a = 250b = 324c = 70d = 1476
LR+ =
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليلصعبة
تمرين تدريبي (قيم مختلَقة، ليست إرشادات سريرية). احتمال إصابة مريض بمرض قبل الاختبار هو 15%. أُجري اختبار حساسيته 69% ونوعيته 92% وجاءت نتيجته سالبة. أوجد الاحتمال بعد الاختبار p′ للمرض كنسبة مئوية. قرّب إلى منزلة عشرية واحدة.
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 182,5؟
μ = 170σ = 10x = 182,5
P =
5.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 20 مفردة متوسطها 89,5 وانحرافها المعياري s = 15,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.
n = 20x̄ = 89,5s = 15,590%t(19) = 1,729
E =
6.فترات الثقةصعبة
لأقطار 25 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 11,1 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 24، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 12,401 و 2,5% فوق 39,364.
n = 25s = 11,1 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 116,5 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,5s = 12n = 81
t =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 45 من 300 مريضًا على العلاج A، و 6 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 6n₂ = 120
z =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: LR+ = 4,34
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
الحساسية والنوعية
Se = 250/320 = 0,7813
Sp = 1476/1800 = 0,82
نسبة الاحتمال الإيجابية
LR+ = 0,7813/(1 − 0,82) = 4,34
الإجابة
LR+ = 4,34
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 5,6 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR− = (1 − 0,69)/0,92 = 0,337
الأرجحية قبل الاختبار
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
الأرجحية بعد الاختبار
0,1765·0,337 = 0,05946
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 0,05946/(1 + 0,05946) = 0,05613 ≈ 5,6%
الإجابة
p′ = 5,6%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,42
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1,25
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
الإجابة
P = 0,1056
5.فترات الثقة
الإجابة: E = 5,993
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 19, t = 1,729
هامش الخطأ
E = 1,729·15,5/√20 = 5,993
الإجابة
E = 5,993
6.فترات الثقة
الإجابة: σ = 15,44 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 24·11,1² = 2957
حدّا σ²
2957/39,364 = 75,12
2957/12,401 = 238,5
حدّ σ
σ = √238,5 = 15,44 µm
الإجابة
σ = 15,44 µm
فترة 95% لـ σ: [8,667, 15,44] µm.
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,625
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
إحصائية الاختبار
t = (116,5 − 120)/1,333 = −2,625
الإجابة
t = −2,625
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,835
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 6/120 = 0,05
p̂ = 51/420 = 0,1214
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,1214·0,8786·(1/300 + 1/120)) = 0,03528
إحصائية الاختبار
z = (0,15 − 0,05)/0,03528 = 2,835
الإجابة
z = 2,835
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).