أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و40 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.
أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.
استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار IR3 المارّ في R3 باتجاه السهم.
يُضبط مصدر التيار حتى يصبح جهد العقدة A مساويًا VA = 30 V. استخدم تحليل العقد لإيجاد تيار المصدر Is (بالاتجاه الموضّح).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR2 المارّ في R2 باتجاه السهم.
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد الجهد VR1 على طرفي R1 بالقطبية الموضّحة.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد الجهد VR2 على طرفي R2 بالقطبية الموضّحة.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد القدرة PR3 التي يمتصها R3.
أوجد مقاومة ثيفنن Rth المرئية من الطرفين a–b.
أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 99% من قيمته النهائية؟ أوجد t.
قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 6 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق vC ليبلغ 10,2 V؟ أوجد t.
مقاومة ومكثّف موصولان على التوازي على مصدر 24 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).
مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.
يأخذ حِمل حثي 11 A و 2376 W من مصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد R.
يستهلك حِمل أحادي الطور 40 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,9. أوجد القدرة غير الفعّالة QC التي يجب أن يزوّدها المكثّف.
حمل متوازن موصول Y ممانعته 18 + j24 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 400 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 75 kW عند معامل قدرة 0,7 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
وُصلت مقاومة 5 Ω على طرفي الملف الثانوي لمحوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 8:1. أوجد المقاومة R1′ المرئية عند النظر إلى الملف الابتدائي.
محوّل أحادي الطور 150 kVA مفقودات قلبه 600 W ومفقودات نحاسه 2400 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 50% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,95 متأخر. أوجد المفقودات الكلية Ploss بالواط عند هذا الحمل.
يستخدم مكبّر الفرق مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V، مع R3 = R1 و R4 = R2. أوجد الجهد V− عند الدخل العاكس.
مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. نسب المقاومات غير متطابقة. أوجد جهد الخرج Vout.
ترانزستور NPN بـ β = 120 منحاز بمقاومة قاعدة RB = 680 kΩ من المصدر VCC = 12 V. مقاومة المجمِّع RC = 1,5 kΩ والباعث موصول بالأرضي. خذ VBE = 0,7 V وافترض أن الترانزستور في المنطقة الفعّالة. أوجد جهد المجمِّع–الباعث VCE.
يجب أن يغذّي منظم زينر 5,6 V حملًا بتيار يصل إلى 25 mA. قد ينخفض الدخل إلى 18 V، ويحتاج زينر إلى 1 mA على الأقل ليظل منظِّمًا. أوجد أكبر مقاومة توالٍ Rmax تبقيه منظِّمًا.
النمط ذو 8 بتات 1000 0010 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟
اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0111 1110 >> 2. ما قيمة الناتج R بالعشري؟
بسّط F = ABC′ + AB + A′C′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟
جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 6, 9, 11, 14, 15) + d(4, 7, 10, 12)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟
أوجد f(t) للدالة F(s) = 50/(s(s + 1)(s + 2)) بالكسور الجزئية، واحسب f(1,5).
يخضع نظام للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 27·u(t). يبدأ من السكون (y(0) = 0، y′(0) = 0) والدخل خطوة u(t) = 5 لـ t ≥ 0. استخدم تحويل لابلاس لإيجاد الخرج y(0,2).
حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية لها G(s) = 4(s + 6)/((s + 7)(s + 9)). تُطبَّق خطوة مقدارها 10 عند المرجع. أوجد خطأ الحالة المستقرة ess.
النظام المُتحكَّم فيه G(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 6)) في حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية. عند أكبر كسب مستقر تتذبذب الحلقة. أوجد تردّد التذبذب ω بوحدة rad/s.
لنظام دالة النقل G(s) = 60/(s² + 6s + 20) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).
لحلقة تغذية عكسية سالبة وحدوية G(s) = 70/(s(s + 2)). أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية للحلقة المغلقة باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).
في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 20 Ω، مع L = 100 mH وC = 1 µF. أوجد عرض النطاق عند −3 dB BW بالهرتز.
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 56/(s(s + 2)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.
لحلقة المخطط دالة نقل الحلقة المفتوحة L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8)). يُرفع الكسب حتى تصبح الحلقة المغلقة على حافة الاستقرار. أوجد تردد ω التذبذب المستمر.
لحلقة L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8))، أوجد الكسب K الذي يضع قطبًا للحلقة المغلقة عند s = −1.
يُطبَّق منحدر r(t) = 2t على حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = 50/(s(s + 10)). أوجد خطأ الحالة المستقرة ess.
يتحكم متحكم تناسبي K في المحطة G(s) = 5/(s(s + 2)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد الكسب K الذي يعطي الحلقة المغلقة نسبة تخميد ζ = 0,707.
الإجابة: Req = 13,24 Ω
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
الإجابة: Req = 8,629 Ω
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
الإجابة: IR3 = −1,051 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
الأرضي هو السلك السفلي. جهود العقد المعروفة تأتي مباشرة من المصادر (V1 = 12 V). المجاهيل: VA, VB.
التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: Is = 9,55 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
VA معلوم، لذا تعطي هذه المعادلة VB.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: IR2 = −0,1615 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: VR1 = 0,6667 V
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2, I3. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: VR2 = −22,27 V
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح Iₛ دائرة مفتوحة، فيشكّل R₃ و R₄ فرعًا واحدًا على التوالي من A إلى الأرضي، على التوازي مع R₂.
يصبح V₁ قصرًا، فيكون R₁ على التوازي مع R₂. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ والمسار عبر R₃.
النتيجة السالبة تعني أن القطبية معاكسة للمعلَّمة في الواقع.
الإجابة: PR3 = 55,76 W
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.
يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.
يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.
تعتمد القدرة على مربّع التيار، لذا لا تخضع لمبدأ التراكب: اجمع التيارات أولًا، ثم ربّع.
جمع قدرات الحالات المنفصلة يعطي 18,82 W، وهذا خطأ.
الإجابة: Rth = 18 Ω
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
الإجابة: IN = 5,833 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.
الإجابة: t = 10,13 ms
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
الإجابة: t = 180,1 ms
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.
الإجابة: φ = −55,89 °
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.
تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.
تيار المكثّف يتقدّم على V، لذا يتقدّم التيار الكلي وتكون الزاوية سالبة.
الإجابة: I = 0,6136 A
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.
الإجابة: R = 19,64 Ω
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الإجابة: QC = 15,9 kvar
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
الإجابة: P = 3,2 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
الإجابة: Cph = 246,3 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.
الإجابة: R1′ = 320 Ω
المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.
يرتفع الجهد بـ a وينخفض التيار بـ a، لذا ترتفع النسبة V/I بـ a².
الإجابة: Ploss = 1200 W
مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·Pcu,fl. الكفاءة η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)، حيث Pout = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.
مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.
الكفاءة عند هذا الحمل η = 98,34%.
الإجابة: V− = 0,9091 V
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
R₃ و R₄ يحملان التيار نفسه، لذا يشكّلان مقسّم جهد؛ والتغذية الراجعة تجعل V₋ = V₊.
الإجابة: Vout = 1,666 V
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
مع V₂ = 0 يرى V₁ مكبّرًا عاكسًا. ومع V₁ = 0 يُكبَّر V₊ بالكسب غير العاكس 1 + R₂/R₁.
الإجابة: VCE = 9,009 V
نقطة انحياز BJT: في المنطقة الفعّالة VBE = 0,7 V، و IC = β·IB، و IE = (β + 1)·IB. أوجد IB من حلقة القاعدة بقانون كيرشوف للجهد، ثم IC، ثم VCE من حلقة المجمِّع–الباعث. يُستبدل مقسّم الجهد عند القاعدة بمكافئ ثيفنن VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)، RTH = R₁∥R₂؛ وتظهر مقاومة الباعث أكبر بـ (β + 1) مرة في حلقة القاعدة.
الإجابة: Rmax = 476,9 Ω
منظم زينر: يثبّت صمام زينر الثنائي المنحاز عكسيًا جهده VZ ما دام تياره فوق حد أدنى IZ,min. تأخذ المقاومة التوالية R الفرق بين الدخل والخرج: IR = (Vin − VZ)/R. وينقسم هذا التيار بين الحمل، IL = VZ/RL، وصمام زينر: IZ = IR − IL. صمّم لأسوأ الحالات: أدنى دخل مع أكبر حمل يجب أن يترك IZ,min مع ذلك، وأعلى دخل بلا حمل يعطي أكبر قدرة لصمام زينر PZ = VZ·IZ.
الإجابة: N = −126
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.
الإجابة: R = 31
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
الإزاحة إلى اليمين بمقدار 2 تنقل كل بت 2 مواضع إلى اليمين؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيمن وتدخل أصفار من اليسار.
الإجابة: L = 4
الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.
الإجابة: N = 3
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
الإجابة: f(1.5) = 15,09
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: y(0.2) = 1,527
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: ess = 7,241
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: ω = 4,472 rad/s
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
يجب أن تكون كل عناصر العمود الأول موجبة.
الإجابة: ts = 1,333 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: ts = 4 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
في هذه الحلقة ζωₙ = a/2 مهما كانت K: زيادة K تزيد التجاوز لكنها لا تقصّر زمن الاستقرار.
الإجابة: BW = 31,83 Hz
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: PM = 15,22 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: ω = 6,325 rad/s
معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.
عند الكسب الحرج يكون الصف s¹ صفرًا؛ ويعطي الصف s² الأقطاب الواقعة على المحور التخيلي.
الإجابة: K = 7
المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.
تحقق: s(s + 2)(s + 8) + K تساوي صفرًا عند s = −1.
الإجابة: ess = 0,4
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
الإجابة: K = 0,4001
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical