أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و40 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
أوجد التيار IR2 عبر R2.
أوجد التيار IR2 عبر R2.
ثلاثة فروع موصولة بين العقدة A والأرضي، كما هو موضّح. استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار I1 في الفرع 1، الجاري إلى الأعلى نحو العقدة A باتجاه السهم.
يُضبط مصدر التيار حتى يصبح جهد العقدة A مساويًا VA = 10 V. استخدم تحليل العقد لإيجاد تيار المصدر Is (بالاتجاه الموضّح).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد تيار الحلقة I2 (باتجاه عقارب الساعة).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR5 المارّ في R5 باتجاه السهم.
دائرة مقاومات خطية تحتوي على مصدر جهد واحد Vs ومصدر تيار واحد Is. يُقاس التيار I في مقاومة حِمل مرتين: مع Vs = 2 V و Is = 6 mA، يكون I = 1,2 mA؛ ومع Vs = 15 V و Is = 4 mA، يكون I = 17,2 mA. أوجد تيار الحِمل I عندما Vs = 10 V و Is = 5 mA.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد الجهد VR2 على طرفي R2 بالقطبية الموضّحة.
وُصل حِمل RL = 15 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 100 ms.
المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 500 ms.
دائرة RLC على التوالي مع C = 47 µF يجب أن ترنّ عند 50 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد الجهد الفعّال VC على المكثّف.
يستهلك محرّك أحادي الطور 39 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.
مصدر 12 V (فعّال)، 50 Hz له معاوقة داخلية Zs = 50 + j3 Ω. يمكن اختيار معاوقة الحِمل ZL بحرية. أوجد أقصى قدرة فعلية Pmax يمكن نقلها إلى الحِمل.
حمل متوازن موصول Y ممانعته 18 + j24 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 415 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 100 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
وُصلت مقاومة 50 Ω على طرفي الملف الثانوي لمحوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 4:1. أوجد المقاومة R1′ المرئية عند النظر إلى الملف الابتدائي.
محوّل أحادي الطور 500 kVA مفقودات قلبه 4000 W ومفقودات نحاسه 10000 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل Sη,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟
اختر مقاومة التغذية الراجعة Rf التي تعطي هذا المكبّر غير العاكس كسب جهد 2.
يستخدم المكامِل مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±14 V. المكثّف غير مشحون عند تطبيق دخل ثابت Vin = −0,2 V عند t = 0. بعد كم من t = 0 يبلغ الخرج التشبّع؟ أوجد t.
ترانزستور NPN بـ β = 50 منحاز بمقاومة قاعدة RB = 150 kΩ من المصدر VCC = 12 V. مقاومة المجمِّع RC = 470 Ω والباعث موصول بالأرضي. خذ VBE = 0,7 V وافترض أن الترانزستور في المنطقة الفعّالة. أوجد تيار المجمِّع IC بالـ mA.
ترانزستور NPN بـ β = 80 يتحكّم بمقاومة حمل 330 Ω موصولة بين VCC = 5 V ومجمِّعه. الباعث موصول بالأرضي. تُغذّى القاعدة من خرج منطقي 3,3 V عبر مقاومة قاعدة RB. خذ VBE = 0,7 V و VCE(sat) = 0,2 V. لتبديل موثوق، صمّم لتيار قاعدة يساوي 4 ضعف الحد الأدنى اللازم للتشبّع. أوجد RB بالـ kΩ.
النمط ذو 8 بتات 1010 1110 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟
ما أصغر (أكثر سالبية) عدد صحيح N يمكن تخزينه بالمتمم الثنائي ذي 24 بتة؟
استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 6, 8, 12). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟
للدالة F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 6, 8, 11, 12, 14) + d(1, 7, 9)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).
F(s) = (s + 39)/(s² + 7s + 6). تحويله العكسي على الصورة f(t) = A·e−t + B·e−6t. أوجد المعامل A بالكسور الجزئية.
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 7 و y′(0) = −10 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(0,4).
للنظام المُتحكَّم فيه G(s) = 5/(s + 2) حلقة تغذية راجعة سالبة داخلية (ثانوية) كسبها H₁ = 3. كسب متحكّم K = 11 وحلقة تغذية راجعة سالبة أحادية خارجية يُغلقان النظام. أوجد كسب التيار المستمر للحلقة المغلقة T(0).
النظام المُتحكَّم فيه G(s) = K/((s + 1)(s + 5)(s + 8)) في حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية. استخدم معيار روث–هورفيتز لإيجاد أكبر كسب Kmax تكون عنده الحلقة المغلقة مستقرة.
لنظام دالة النقل G(s) = 188/(s² + 15s + 94) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. القطبان هما s = σ ± jωd. أوجد الجزء الحقيقي σ.
لحلقة تغذية عكسية سالبة وحدوية G(s) = 40/(s(s + 2)). أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية للحلقة المغلقة باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).
أوجد الطور ∠G(jω) لـ G(s) = 17(s + 17)/(s(s + 11)) عند ω = 10 rad/s، بالدرجات.
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 144/(s(s + 8)). أوجد تردد تقاطع الكسب ωc، حيث |L(jω)| = 1.
تستخدم حلقة المخطط تغذية عكسية موجبة، مع L(s) = 2/(s(s + 3)(s + 10)). كم عدد أقطاب الحلقة المغلقة N الواقعة في النصف الأيمن من المستوى؟
لحلقة L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8))، أوجد الكسب K الذي يضع قطبًا للحلقة المغلقة عند s = −2.
يجب أن تتبع حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = K/(s(s + 10)) المنحدر r(t) = 5t بخطأ حالة مستقرة قدره 0,1. أوجد الكسب K.
يتحكم متحكم تناسبي K = 8 في المحطة G(s) = 10/(s(s + 8)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد زمن الذروة tp للاستجابة الخطوية.
الإجابة: IR2 = 0,5169 A
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.
اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.
الإجابة: IR2 = 0,2158 A
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.
اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.
الإجابة: I1 = 0,8889 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
اعتبر السلك السفلي هو الأرضي. كل فرع يحمل (VA − Vk)/Rk خارجًا من A، حيث Vk جهد مصدره (صفر للمقاومة وحدها). مجموع التيارات الخارجة من A يساوي صفرًا.
يشير السهم إلى الأعلى عبر الفرع، داخلًا إلى العقدة A.
النتيجة السالبة تعني أن التيار الفعلي يجري عكس السهم.
الإجابة: Is = 3,367 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
VA معلوم، لذا تعطي هذه المعادلة VB.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: I2 = −0,2143 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: IR5 = 0,374 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2, I3. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: I = 11 mA
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
كل إسهام يتناسب مع مصدره، بثابت يعتمد على المقاومات فقط.
الإجابة: VR2 = 28,5 V
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.
يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.
يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.
النتيجة السالبة تعني أن القطبية معاكسة للمعلَّمة في الواقع.
الإجابة: IL = 0,2825 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
الإجابة: Vth = 99,38 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
الإجابة: vC = 0,8342 V
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
اقصر المصدر لإيجاد Rth؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.
الإجابة: vC = 3,966 V
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.
الإجابة: L = 215,6 mH
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).
الإجابة: VC = 2,702 V
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.
الإجابة: I = 242,2 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.
الإجابة: Pmax = 0,72 W
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
مفاعلة الحِمل تلغي مفاعلة المصدر، ومقاومة الحِمل تساوي مقاومة المصدر.
الإجابة: P = 3,445 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
الإجابة: Cph = 1232 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.
الإجابة: R1′ = 800 Ω
المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.
يرتفع الجهد بـ a وينخفض التيار بـ a، لذا ترتفع النسبة V/I بـ a².
الإجابة: Sη,max = 316,2 kVA
مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·Pcu,fl. الكفاءة η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)، حيث Pout = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.
الإجابة: Rf = 22 kΩ
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
V₋ = V₊ = Vin، والتيار عبر R₁ يمرّ أيضًا عبر Rf، إذن Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
الإجابة: t = 723,8 ms
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.
الإجابة: IC = 3,767 mA
نقطة انحياز BJT: في المنطقة الفعّالة VBE = 0,7 V، و IC = β·IB، و IE = (β + 1)·IB. أوجد IB من حلقة القاعدة بقانون كيرشوف للجهد، ثم IC، ثم VCE من حلقة المجمِّع–الباعث. يُستبدل مقسّم الجهد عند القاعدة بمكافئ ثيفنن VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)، RTH = R₁∥R₂؛ وتظهر مقاومة الباعث أكبر بـ (β + 1) مرة في حلقة القاعدة.
تحقّق: VCE = 10,23 V أعلى بوضوح من 0,2 V، لذا الترانزستور فعلًا في المنطقة الفعّالة.
الإجابة: RB = 3,575 kΩ
BJT كمفتاح: لتشغيل الحمل تشغيلًا كاملًا يُدفع الترانزستور إلى التشبّع، حيث VCE = VCE(sat) ويحدّد الحمل تيار المجمِّع: IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC. يتطلّب التشبّع IB = IC(sat)/β على الأقل. إذا كان تيار القاعدة أصغر، يبقى الترانزستور في المنطقة الفعّالة و IC = β·IB.
الإجابة: N = −82
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.
الإجابة: N = −8,389 × 10⁶
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
الإجابة: N = 5
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.
الإجابة: N = 2
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
الإجابة: A = 7,6
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
اضرب في (s + 1) وضع s = −1: يختفي حدّ B.
الإجابة: y(0.4) = 3,64
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق: y(0) = A + B = 7.
الإجابة: T(0) = 0,7639
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: Kmax = 702
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
يجب أن تكون كل عناصر العمود الأول موجبة.
الإجابة: σ = −7,5
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: ts = 4 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
في هذه الحلقة ζωₙ = a/2 مهما كانت K: زيادة K تزيد التجاوز لكنها لا تقصّر زمن الاستقرار.
الإجابة: ∠G(jω) = −101,8 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: ωc = 10,75 rad/s
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: N = 1
معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.
التغذية العكسية الموجبة تجعل المعامل الثابت سالبًا: فينتقل قطب حقيقي واحد دائمًا إلى النصف الأيمن من المستوى.
الإجابة: K = 48
المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.
تحقق: s(s + 6)(s + 8) + K تساوي صفرًا عند s = −2.
الإجابة: K = 500
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
الكسب الكبير يجعل هذه الحلقة قليلة التخميد جدًا: ζ = 0,2236. وهذا التعارض هو سبب استخدام المعوِّضات.
الإجابة: tp = 0,3927 s
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical