أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و40 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
أوجد التيار IR2 عبر R2.
أوجد التيار IR2 عبر R2.
استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار IR1 المارّ في R1 باتجاه السهم.
استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار IR1 المارّ في R1 باتجاه السهم.
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد تيار الحلقة I2 (باتجاه عقارب الساعة).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR2 المارّ في R2 باتجاه السهم.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد الجهد VR4 على طرفي R4 بالقطبية الموضّحة.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد التيار IR2 المارّ في R2 باتجاه السهم.
وُصل حِمل RL = 10 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الطاقة W(∞) المخزّنة في الملف بعد استقرار الدائرة، بوحدة mJ.
المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 250 ms.
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).
دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 2 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال VL على الملف.
حِمل معاوقته Z = 12 + j5 Ω موصول بمصدر أحادي الطور 230 V (فعّال). أوجد القدرة الظاهرية S.
محوّل أحادي الطور قدرته 100 kVA يغذّي حِملًا 37 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 11 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 90% ومعامل قدرته 0,8 متأخرًا. جهد خط المصدر 480 V. أوجد تيار الخط IL.
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 120 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
وُصلت مقاومة 50 Ω على طرفي الملف الثانوي لمحوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 6:1. أوجد المقاومة R1′ المرئية عند النظر إلى الملف الابتدائي.
محوّل أحادي الطور 75 kVA مفقودات قلبه 300 W ومفقودات نحاسه 600 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 50% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,9 متأخر. أوجد المفقودات الكلية Ploss بالواط عند هذا الحمل.
مكبّر العمليات مثالي ويعمل من مصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±13 V. يُغذّى المكبّر غير العاكس بموجة جيبية. أوجد أكبر سعة دخل Vin,max (القيمة القصوى) لا يُقصّ عندها الخرج.
يستخدم المكبّر الجامع مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرين ±15 V. أوجد التيار If عبر مقاومة التغذية الراجعة المتّجه نحو الخرج.
ترانزستور NPN بـ β = 100 منحاز بمقسّم جهد من VCC = 20 V: R₁ = 100 kΩ من VCC إلى القاعدة و R₂ = 10 kΩ من القاعدة إلى الأرضي. مقاومة المجمِّع RC = 1,5 kΩ ومقاومة الباعث RE = 1,5 kΩ. خذ VBE = 0,7 V واستخدم مكافئ ثيفنن للمقسّم (لا تُهمل تيار القاعدة). أوجد تيار المجمِّع IC بالـ mA.
يُنمذج صمام ثنائي بـ 0,7 V على التوالي مع 10 Ω (يوصل فوق 0,7 V). وهو على التوالي مع مقاومة 1000 Ω عبر مصدر 12 V. أوجد تيار التشغيل ID حيث يلتقي خط الصمام بخط الحمل.
اضبط البتات بحيث تخزن −111 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟
اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 1101 0111 << 2. ما قيمة الناتج R بالعشري؟
في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.
للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 9, 11, 15) + d(0, 5, 8, 13, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).
أوجد f(t) للدالة F(s) = (3s + 6)/(s² + 2s + 2) بإكمال المربّع، واحسب f(0,3).
حلّ y″ + 10y′ + 24y = 0 مع y(0) = 10 و y′(0) = 1 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(0,2).
يُتحكَّم في نظام G(s) = 11/(s + 7) في حلقة تغذية راجعة سالبة كسب مستشعرها H = 0,5. أوجد الثابت الزمني τ للحلقة المغلقة.
متحكّم تناسبي K يقود النظام G(s) = 10/(s + 3) في حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية. تدخل خطوة اضطراب مقدارها 1 عند دخل النظام بينما R = 0. أوجد أصغر كسب K يُبقي خرج الحالة المستقرة عند 0,06667 أو دونه.
لنظام دالة النقل G(s) = 50/(s² + 7s + 50) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد نسبة التخميد ζ.
لحلقة تغذية عكسية سالبة وحدوية G(s) = K/(s(s + 10)). أوجد الكسب K الذي يعطي استجابة خطوية بتجاوز 15 %.
في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 10 Ω، مع L = 10 mH وC = 1 µF. أوجد التردد المركزي (الرنيني) f0 بالهرتز.
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 280/(s(s + 4)(s + 10)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.
لحلقة المخطط تغذية عكسية سالبة وL(s) = 585/(s(s + 3)(s + 10)). كم عدد أقطاب الحلقة المغلقة N الواقعة في النصف الأيمن من المستوى؟
رُسم المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 5)). أوجد التردد ω الذي يقطع عنده المحل الهندسي المحور التخيلي.
لحلقة تغذية عكسية وحدوية G(s) = K/((s + 1)(s + 2)). أوجد الكسب K الذي يعطي خطأ حالة مستقرة قدره 2 % لدخل خطوة.
يتحكم متحكم تناسبي K = 40 في المحطة G(s) = 10/(s(s + 5)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد زمن الذروة tp للاستجابة الخطوية.
الإجابة: IR2 = 1,071 A
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.
اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.
الإجابة: IR2 = 0,4308 A
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.
اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.
الإجابة: IR1 = 1,313 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
الأرضي هو السلك السفلي. جهود العقد المعروفة تأتي مباشرة من المصادر (V1 = 30 V). المجاهيل: VA, VB.
التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: IR1 = 2,044 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
الأرضي هو السلك السفلي. جهود العقد المعروفة تأتي مباشرة من المصادر (V1 = 18 V, V2 = −24 V). المجاهيل: VA, VB.
التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: I2 = −2,937 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: IR2 = 0,9495 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2, I3. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: VR4 = 35,42 V
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح Iₛ دائرة مفتوحة، فيشكّل R₃ و R₄ فرعًا واحدًا على التوالي من A إلى الأرضي، على التوازي مع R₂.
يصبح V₁ قصرًا، فيكون R₁ على التوازي مع R₂. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ والمسار عبر R₃.
النتيجة السالبة تعني أن القطبية معاكسة للمعلَّمة في الواقع.
الإجابة: IR2 = −1,621 A
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.
يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.
يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.
النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري عكس السهم في الواقع.
الإجابة: IL = 0,6261 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
الإجابة: Vth = 86,25 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
الإجابة: W(∞) = 0,5541 mJ
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
الإجابة: vC = 0,4477 V
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.
الإجابة: φ = −79,76 °
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
الإجابة: VL = 4,126 V
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.
هذا Q = 2,063 مرة جهد المصدر.
الإجابة: S = 4069 VA
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الإجابة: ΔP = 60,34 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
الإجابة: IL = 18,38 A
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
الإجابة: Cph = 216,6 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.
الإجابة: R1′ = 1800 Ω
المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.
يرتفع الجهد بـ a وينخفض التيار بـ a، لذا ترتفع النسبة V/I بـ a².
الإجابة: Ploss = 450 W
مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·Pcu,fl. الكفاءة η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)، حيث Pout = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.
مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.
الكفاءة عند هذا الحمل η = 98,68%.
الإجابة: Vin,max = 0,5306 V
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
الإجابة: If = −0,09627 mA
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
V₋ = 0، لذا يقع على كل مقاومة دخل كامل جهد دخلها.
الإجابة: IC = 0,6963 mA
نقطة انحياز BJT: في المنطقة الفعّالة VBE = 0,7 V، و IC = β·IB، و IE = (β + 1)·IB. أوجد IB من حلقة القاعدة بقانون كيرشوف للجهد، ثم IC، ثم VCE من حلقة المجمِّع–الباعث. يُستبدل مقسّم الجهد عند القاعدة بمكافئ ثيفنن VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)، RTH = R₁∥R₂؛ وتظهر مقاومة الباعث أكبر بـ (β + 1) مرة في حلقة القاعدة.
قانون كيرشوف للجهد حول حلقة القاعدة؛ تيار الباعث هو (β + 1)·IB.
الإجابة: ID = 11,19 mA
دوائر الصمام الثنائي الباعث للضوء (LED) والصمامات الثنائية: يهبط جهد LED المنحاز أماميًا بنحو جهده الأمامي VF (نحو 2 V للأحمر و3 V للأزرق أو الأبيض)، مهما كان التيار. وتحدد المقاومة التوالية التيار: R = (Vs − n·VF)/I لعدد n من LED على التوالي. وفي نموذج أدق للصمام V = V₀ + I·rd، تكون نقطة التشغيل حيث يلتقي خط الصمام بخط الحمل I = (Vs − V)/R، إذن I = (Vs − V₀)/(R + rd).
الإجابة: U = 145
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
الإجابة: R = 92
ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.
الإزاحة إلى اليسار بمقدار 2 تنقل كل بت 2 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.
الإجابة: AB = 00, CD = 10
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.
الإجابة: N = 2
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
الإجابة: f(0.3) = 2,78
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: y(0.2) = 7,53
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق: y(0) = A + B = 10.
الإجابة: τ = 0,08 s
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: K = 14,7
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: ζ = 0,495
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: K = 93,56
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الإجابة: f0 = 1592 Hz
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: GM = 6,021 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: N = 2
معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.
الكسب أعلى من الحدّ K = 390، لذا عبر زوج مركّب إلى النصف الأيمن من المستوى.
الإجابة: ω = 6,164 rad/s
المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.
الإجابة: K = 98
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
تحقق أيضًا من استقرار الحلقة المغلقة: في هذه الحلقة من الرتبة الثانية يكون أي K > 0 مستقرًا.
الإجابة: tp = 0,1583 s
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical