التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و40 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

تحليل العقد

قانون كيرشوف للتيار: ΣI_in = ΣI_out
تيار الفرع: I = (V_a − V_b)/R
العقدة المرجعية: V_ground = 0

الطريقة

اختر عقدة مرجعية (الأرضي) وسمِّ جهود العقد الأخرى.
اكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة: التيارات الخارجة عبر الفروع تساوي التيارات الداخلة.
عبّر عن كل تيار فرع بالصيغة (V_a − V_b)/R.
حلّ نظام المعادلات، ثم أوجد أي تيار تحتاجه.

تحليل الحلقات

قانون كيرشوف للجهد: ΣV = 0 حول كل حلقة
مقاومة مشتركة: التيار = I₁ − I₂
مصدر تيار في حلقة: يحدّد تيار تلك الحلقة

الطريقة

ارسم تيارًا باتجاه عقارب الساعة في كل حلقة (نافذة) من الدائرة.
طبّق قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة: مجموع هبوطات الجهد يساوي صفرًا.
في المقاومة المشتركة بين حلقتين يكون التيار هو الفرق بين تياري الحلقتين.
حلّ المعادلات؛ النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري في الاتجاه المعاكس.

التراكب

التراكب: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
مصدر جهد مُطفأ: قصر (0 V)
مصدر تيار مُطفأ: دائرة مفتوحة (0 A)
مقسّم الجهد: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
مقسّم التيار: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

الطريقة

عُدّ المصادر المستقلة. ستحلّ دائرة أبسط واحدة لكل مصدر.
أبقِ مصدرًا واحدًا وأطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا (سلكًا)، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة (فجوة).
حلّ الدائرة الأبسط لإيجاد الجهد أو التيار المطلوب، مع متابعة اتجاهه.
كرّر ذلك لكل مصدر، ثم اجمع المساهمات بإشاراتها.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
المكبّر غير العاكس: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
المكبّر الجامع: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
مكبّر العمليات المثالي: V₊ = V₋, I_in = 0

الثنائيات والترانزستورات

الثنائي (هبوط ثابت): V_D = 0,7 V when conducting
المنطقة الفعّالة: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
الانحياز الثابت: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
انحياز مقسّم الجهد: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
مكافئ ثيفنن لمقسّم الجهد: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
حلقة المجمِّع: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
التشبّع: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

الاستقرار: جميع جذور كثير الحدود المميِّز في النصف الأيسر من المستوى
جدول راوث، عنصر الصف s¹ في كثير حدود تكعيبي: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
جذور النصف الأيمن من المستوى: عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول
كثير الحدود التكعيبي s³ + a₂s² + a₁s + a₀: مستقر حين a > 0 لجميع المعاملات وa₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
المعادلة المميزة: 1 + K·G(s) = 0
الخطوط المقاربة: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
نقطتا الانفصال والالتقاء: dK/ds = 0
شرط المقدار: K = 1/|G(s)|
زاوية المغادرة: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

الطريقة

اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة: مقام 1 + K·G(s) = 0، بعد فكّه.
ضع المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث وابنِ بقية الصفوف.
عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول: كل تغيّر قطب في النصف الأيمن من المستوى. ومع وجود K في الجدول اشترط أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا.
للمحل الهندسي للجذور عيّن الأقطاب والأصفار وقطع المحور الحقيقي والخطوط المقاربة من المركز ونقاط الانفصال حيث dK/ds = 0. واستخدم K = 1/|G(s)| لإيجاد الكسب عند نقطة.

خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

نوع النظام: عدد أقطاب G(s) عند s = 0
ثوابت الخطأ: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
الخطوة A: e_ss = A/(1 + K_p)
المنحدر A·t: e_ss = A/K_v
القطع المكافئ A·t²/2: e_ss = A/K_a
المتحكم PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
الهدف من الرتبة الثانية: s² + 2ζω_ns + ω_n²
التجاوز والتوقيت: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

الطريقة

عُدّ أقطاب الحلقة المفتوحة C(s)·G(s) عند s = 0: فذلك هو نوع النظام.
احسب ثابت الخطأ المناسب للدخل: K_p للخطوة، وK_v للمنحدر، وK_a للقطع المكافئ.
طبّق e_ss = A/(1 + K_p) أو A/K_v أو A/K_a، أو حُلّها لإيجاد الكسب المطلوب.
لمواصفة التخميد أو السرعة اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وطابقه مع s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2مسائل تدريبية

1.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.تحليل العقدمتوسطة

استخدم تحليل العقد لإيجاد القدرة P_Is التي يعطيها مصدر التيار I_s.

V₁ = 6 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

P_Is = W

4.تحليل العقدصعبة

المعيّن هو مصدر تيار يتحكّم فيه الجهد، يدفع تيارًا مقداره 0,1·V_A (بالأمبير، مع V_A بالفولت) إلى الأعلى نحو العقدة B. استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار I_R4 المارّ في R₄ باتجاه السهم.

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ωg = 0,1 A/V

I_R4 = A

5.تحليل الحلقاتمتوسطة

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار I_R1 المارّ في R₁ باتجاه السهم.

V₁ = 12 VV₂ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 Ω

I_R1 = A

6.تحليل الحلقاتصعبة

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار I_R4 المارّ في R₄ باتجاه السهم.

V₁ = 15 VV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 Ω

I_R4 = A

7.التراكبمتوسطة

دائرة مقاومات خطية تحتوي على مصدر جهد واحد V_s ومصدر تيار واحد I_s. يُقاس التيار I في مقاومة حِمل مرتين: مع V_s = 5 V و I_s = 2 mA، يكون I = 6 mA؛ ومع V_s = 4 V و I_s = 4 mA، يكون I = 3 mA. أوجد تيار الحِمل I عندما V_s = 20 V و I_s = 8 mA.

5 V, 2 mA → 6 mA4 V, 4 mA → 3 mAV_s = 20 V, I_s = 8 mA

I = mA

8.التراكبصعبة

استخدم مبدأ التراكب لإيجاد التيار I_R4 المارّ في R₄ باتجاه السهم.

V₁ = 15 VI_s = 2,5 AV₂ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 Ω

I_R4 = A

9.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

10.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 3 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة P_L المسلَّمة إلى الحِمل.

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الطاقة W المخزّنة في الملف عند t = 10 ms، بوحدة mJ.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

W = mJ

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 30 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 50 ms.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 30 Vt = 50 ms

v_C = V

13.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة ومكثّف موصولان على التوازي على مصدر 50 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

14.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 24 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 20 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

15.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يأخذ حِمل حثي 6 A و 504 W من مصدر أحادي الطور 120 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد R.

V = 120 VI = 6 AP = 504 W

R = Ω

16.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 40 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 40 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

17.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 7,5 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 92% ومعامل قدرته 0,84 متأخرًا. جهد خط المصدر 690 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 7,5 kWη = 92%cos φ = 0,84V_L = 690 V

I_L = A

18.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 60 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

19.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 10 kVA و 10000/400 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 10 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

20.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 250 kVA مفقودات قلبه 2000 W. عند الحمل المقنَّن ومعامل قدرة 0,8 متأخر تكون كفاءته 98,5%. أوجد مفقودات النحاس عند الحمل الكامل P_cu,fl بالواط.

S = 250 kVAP_core = 2000 Wpf = 0,8η = 98,5%

P_cu,fl = W

21.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة

مكبّر العمليات مثالي ويعمل من مصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±12 V. يُغذّى المكبّر العاكس بموجة جيبية. أوجد أكبر سعة دخل V_in,max (القيمة القصوى) لا يُقصّ عندها الخرج.

R₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

22.دوائر مكبّرات العملياتصعبة

يستخدم المكامِل مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرَي تغذية ±15 V؛ ويتشبّع خرجه عند ±13 V. المكثّف غير مشحون عند تطبيق دخل ثابت V_in = 0,8 V عند t = 0. بعد كم من t = 0 يبلغ الخرج التشبّع؟ أوجد t.

V_in = 0,8 VR = 1 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±13 V

t = ms

23.الثنائيات والترانزستوراتمتوسطة

ترانزستور NPN بـ β = 200 منحاز بمقسّم جهد من V_CC = 18 V: R₁ = 68 kΩ من V_CC إلى القاعدة و R₂ = 12 kΩ من القاعدة إلى الأرضي. مقاومة المجمِّع R_C = 1 kΩ ومقاومة الباعث R_E = 1 kΩ. خذ V_BE = 0,7 V واستخدم مكافئ ثيفنن للمقسّم (لا تُهمل تيار القاعدة). أوجد جهد المجمِّع–الباعث V_CE.

V_CC = 18 VR₁ = 68 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 1 kΩR_E = 1 kΩβ = 200

V_CE = V

24.الثنائيات والترانزستوراتصعبة

ترانزستور NPN بـ β = 150 يتحكّم بمقاومة حمل 680 Ω موصولة بين V_CC = 24 V ومجمِّعه. الباعث موصول بالأرضي. تُغذّى القاعدة من خرج منطقي 5 V عبر مقاومة قاعدة R_B. خذ V_BE = 0,7 V و V_CE(sat) = 0,2 V. لتبديل موثوق، صمّم لتيار قاعدة يساوي 2 ضعف الحد الأدنى اللازم للتشبّع. أوجد R_B بالـ kΩ.

V_CC = 24 VR_C = 680 Ωβ = 150V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vمعامل الدفع الزائد = 2

R_B = kΩ

25.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1111 1000 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1111 10008 bit

N =

26.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 1111 0001 << 2. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

1111 0001<< 2

R =

27.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = A′BC′ + A′C + AC′ + B′C′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = A′BC′ + A′C + AC′ + B′C′

L =

28.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 10, 12, 14) + d(3, 11)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 10, 12, 14) + d(3, 11)

N =

29.تحويلات لابلاسمتوسطة

أوجد f(t) للدالة F(s) = (4s + 39)/(s² + 6s + 13) بإكمال المربّع، واحسب f(0,25).

F(s) = (4s + 39)/(s² + 6s + 13)t = 0,25 s

f(0.25) =

30.تحويلات لابلاسصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t)، مع y(0) = 1 و y′(0) = 0. عند t = 0 يُطبَّق دخل خطوة u(t) = 4. استخدم تحويل لابلاس لإيجاد y(0,3).

y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t)y(0) = 1y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,3 s

y(0.3) =

31.المخططات الصندوقيةمتوسطة

للنظام المُتحكَّم فيه G(s) = 3/(s + 1) حلقة تغذية راجعة سالبة داخلية (ثانوية) كسبها H₁ = 2. كسب متحكّم K = 18 وحلقة تغذية راجعة سالبة أحادية خارجية يُغلقان النظام. أوجد كسب التيار المستمر للحلقة المغلقة T(0).

G(s) = 3/(s + 1)H₁ = 2K = 18

T(0) =

32.المخططات الصندوقيةصعبة

متحكّم تناسبي K يقود النظام G(s) = 9/(s + 5) في حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية. تدخل خطوة اضطراب مقدارها 2 عند دخل النظام بينما R = 0. أوجد أصغر كسب K يُبقي خرج الحالة المستقرة عند 0,036 أو دونه.

G(s) = 9/(s + 5)D = 2c_ss ≤ 0,036

K =

33.الاستجابة الخطويةمتوسطة

لنظام دالة النقل G(s) = 34,5/(s² + 9s + 69) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. القطبان هما s = σ ± jω_d. أوجد الجزء الحقيقي σ.

G(s) = 34,5/(s² + 9s + 69)

σ =

34.الاستجابة الخطويةصعبة

لحلقة تغذية عكسية سالبة وحدوية G(s) = K/(s(s + 4)). أوجد الكسب K الذي يعطي استجابة خطوية بتجاوز 30 %.

G(s) = K/(s(s + 4))%OS = 30 %

K =

35.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 648/((s + 4)(s + 18)) عند ω = 5 rad/s، بوحدة dB.

G(s) = 648/((s + 4)(s + 18))ω = 5 rad/s

|G(jω)| = dB

36.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 28/(s(s + 2)). أوجد تردد تقاطع الكسب ω_c، حيث |L(jω)| = 1.

L(s) = 28/(s(s + 2))

ω_c = rad/s

37.الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورمتوسطة

لحلقة المخطط دالة نقل الحلقة المفتوحة L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6)). يُرفع الكسب حتى تصبح الحلقة المغلقة على حافة الاستقرار. أوجد تردد ω التذبذب المستمر.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6))

ω = rad/s

38.الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورصعبة

يغادر المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8)) المحور الحقيقي بين s = 0 وs = −4. أوجد نقطة الانفصال s_b.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8))

s_b =

39.خطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDمتوسطة

يُطبَّق الدخل القطعي المكافئ r(t) = 4·t²/2 على حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = 5(s + 1)/(s²(s + 4)). أوجد خطأ الحالة المستقرة e_ss.

G(s) = 5(s + 1)/(s²(s + 4))r(t) = 4·t²/2

e_ss =

40.خطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDصعبة

يتحكم متحكم تناسبي K = 8 في المحطة G(s) = 4/(s(s + 8)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد النسبة المئوية للتجاوز %OS في الاستجابة الخطوية.

G(s) = 4/(s(s + 8))K = 8

%OS = %

3المحاليل

1.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 23,91 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω

R_eq = R₁ + 3,913 = 20 + 3,913 = 23,91 Ω

الإجابة

R_eq = 23,91 Ω

2.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,09249 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 7,879 Ω

R₃ + 7,879 = 10,88 Ω

R₂ ∥ 10,88 = 5,706 Ω

R_eq = R₁ + 5,706 = 20 + 5,706 = 25,71 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/25,71 = 0,1945 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,1945·20 = 1,11 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,11/12 = 0,09249 A

الإجابة

I_R2 = 0,09249 A

3.تحليل العقد

الإجابة: P_Is = 4,186 W

تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 6)/5 + (V_A − V_B)/3 = 0

0,6·V_A − 0,3333·V_B = 1,2

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة B

التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/3 = 1

−0,3333·V_A + 0,5833·V_B = 1

الحل

Δ = (0,6)(0,5833) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,2389

V_A = Δ₁/Δ = 1,033/0,2389 = 4,326 V

V_B = Δ₂/Δ = 1/0,2389 = 4,186 V

القدرة التي يعطيها مصدر التيار

يدفع المصدر Iₛ إلى الأعلى نحو العقدة B، من الأرضي (0 V) إلى V_B. المصدر الذي يخرج تياره من طرفه + يعطي القدرة P = V·I.

P_Is = V_B·I_s = 4,186·1 = 4,186 W

الإجابة

P_Is = 4,186 W

4.تحليل العقد

الإجابة: I_R4 = 0,6429 A

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0,1917·V_A − 0,125·V_B = 0,5

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة B

المصدر التابع يدفع g·V_A إلى العقدة B. عامله كمصدر مستقل، ثم انقل حدّ V_A إلى الطرف الأيسر.

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0,1·V_A

−0,225·V_A + 0,375·V_B = 0

الحل

Δ = (0,1917)(0,375) − (−0,125)(−0,225) = 0,04375

V_A = Δ₁/Δ = 0,1875/0,04375 = 4,286 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,1125/0,04375 = 2,571 V

التيار في R₄

I_R4 = V_B/R₄ = 2,571/4 = 0,6429 A

الإجابة

I_R4 = 0,6429 A

5.تحليل الحلقات

الإجابة: I_R1 = 0,375 A

تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.

عيّن تيارات الحلقات

ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I₁, I₂. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

17·I₁ − 5·I₂ = 12

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−12)

−5·I₁ + 9·I₂ = −12

الحل

Δ = (17)(9) − (−5)(−5) = 128

I₁ = Δ₁/Δ = 48/128 = 0,375 A

I₂ = Δ₂/Δ = −144/128 = −1,125 A

الإجابة

I_R1 = I₁ = 0,375 A

تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.

6.تحليل الحلقات

الإجابة: I_R4 = 0,5545 A

عيّن تيارات الحلقات

ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I₁, I₂, I₃. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 15

23·I₁ − 15·I₂ = 15

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 35·I₂ − 8·I₃ = 0

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−9)

−8·I₂ + 20·I₃ = −9

الحل

Δ = محدد مصفوفة المعاملات = 10128

I₁ = Δ₁/Δ = 8460/10128 = 0,8353 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2844/10128 = 0,2808 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3420/10128 = −0,3377 A

الإجابة

I_R4 = I₁ − I₂ = 0,5545 A

تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.

7.التراكب

الإجابة: I = 24 mA

التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.

اكتب الاستجابة كمجموع إسهامات

كل إسهام يتناسب مع مصدره، بثابت يعتمد على المقاومات فقط.

I = k₁·V_s + k₂·I_s

5·k₁ + 2·k₂ = 6

4·k₁ + 4·k₂ = 3

حلّ لإيجاد الثابتين

Δ = (5)(4) − (2)(4) = 12

k₁ = Δ₁/Δ = 18/12 = 1,5

k₂ = Δ₂/Δ = −9/12 = −0,75

k₁ = 1,5 mA/V, k₂ = −0,75

توقّع التيار الجديد

I = 1,5·20 + (−0,75)·8 = 24 mA

الإجابة

I = 24 mA

8.التراكب

الإجابة: I_R4 = −0,3146 A

الحالة 1 · V₁ يعمل وحده

يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 32 = 14,04 Ω

V_A = 15·14,04/(3+14,04) = 12,36 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 12,36·30/32 = 11,59 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (11,59 − 0)/30 = 0,3862 A

الحالة 2 · I_s يعمل وحده

يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 2,679 Ω، إذن المسار الأيسر هو R₂+2,679 = 4,679 Ω

R_eq = R₄ ∥ 4,679 = 4,047 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2,5·4,047 = 10,12 V

V_A = V_B·2,679/4,679 = 5,793 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (10,12 − 0)/30 = 0,3373 A

الحالة 3 · V₂ يعمل وحده

يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.

R₁ ∥ R₃ = 3·25/(3+25) = 2,679 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 36·4,679/34,68 = 4,857 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4,857·2,679/4,679 = 2,781 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (4,857 − 36)/30 = −1,038 A

اجمع المساهمات

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = 0,3862 + 0,3373 + (−1,038) = −0,3146 A

النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري عكس السهم في الواقع.

9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 0,54 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 10 = 13,16 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·15/(4+15) = 7,105 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 7,105/13,16 = 0,54 A

10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: P_L = 3 W

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 3 = 6,333 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + 1·3,333 = 6,333 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6,333 + 1·3 = 9,333 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 9,333/(6,333 + 3) = 1 A

P_L = I_L²·R_L = 1²·3 = 3 W

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: W = 3,54 mJ

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = 0,2·(1 − e^−10/4,4) = 0,1794 A

الطاقة المخزّنة

W = ½·L·i² = ½·220·0,1794² = 3,54 mJ

الإجابة

W = 3,54 mJ

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 27,24 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(50) = 20 + (10)·e^−50/155,1 = 27,24 V

الإجابة

v_C = 27,24 V

13.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 6,606 Ω

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 50/30 = 1,667 A

I_X = V/X_C = 50/6,773 = 7,383 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 7,383²) = 7,569 A

المعاوقة

|Z| = V/I = 50/7,569 = 6,606 Ω

الإجابة

|Z| = 6,606 Ω

14.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 68,97 Ω

المفاعلة

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,81 − j4,728 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 50 + 18,81 − j4,728 = 68,81 − j4,728 Ω

|Z| = √(68,81² + 4,728²) = 68,97 Ω

الإجابة

|Z| = 68,97 Ω

15.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: R = 14 Ω

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

المقاومة من القدرة الفعلية

R = P/I² = 504/6² = 14 Ω

الإجابة

R = 14 Ω

16.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 45,21 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(53,13°) = 53,33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(11,48°) = 8,122 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 45,21 kvar

الإجابة

Q_C = 45,21 kvar

17.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 8,121 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 7,5/0,92 = 8,152 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8152/(√3·690·0,84) = 8,121 A

الإجابة

I_L = 8,121 A

18.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 64,12 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 28,77 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9591/(314,2·690²) = 64,12 µF

الإجابة

C_ph = 64,12 µF

19.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 1 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 10000/10000 = 1 A

الإجابة

I_HV = 1 A

20.المحوّلات

الإجابة: P_cu,fl = 1046 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

قدرتا الخرج والدخل

P_out = 250·0,8 = 200 kW

P_in = 200000/0,985 = 203046 W

المفقودات الكلية ومفقودات النحاس

P_loss = 203046 − 200000 = 3046 W

P_cu,fl = 3046 − 2000 = 1046 W

الإجابة

P_cu,fl = 1046 W

21.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_in,max = 0,5455 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الكسب

|A_v| = R_f/R₁ = 22/1 = 22

أكبر دخل قبل القصّ

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/22 = 0,5455 V

الإجابة

V_in,max = 0,5455 V

22.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: t = 7,637 ms

تيار الدخل ومعدّل التغيّر

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

RC = 1 kΩ · 0,47 µF = 0,47 ms

معدّل التغيّر = −V_in/(RC) = −0,8/0,47 = −1,702 V/ms

الزمن حتى التشبّع

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 13·0,47/0,8 = 7,637 ms

الإجابة

t = 7,637 ms

23.الثنائيات والترانزستورات

الإجابة: V_CE = 14,2 V

نقطة انحياز BJT: في المنطقة الفعّالة V_BE = 0,7 V، و I_C = β·I_B، و I_E = (β + 1)·I_B. أوجد I_B من حلقة القاعدة بقانون كيرشوف للجهد، ثم I_C، ثم V_CE من حلقة المجمِّع–الباعث. يُستبدل مقسّم الجهد عند القاعدة بمكافئ ثيفنن V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)، R_TH = R₁∥R₂؛ وتظهر مقاومة الباعث أكبر بـ (β + 1) مرة في حلقة القاعدة.

مكافئ ثيفنن للمقسّم

V_TH = 18·12/(68 + 12) = 2,7 V

R_TH = 68·12/(68 + 12) = 10,2 kΩ

تيار القاعدة

قانون كيرشوف للجهد حول حلقة القاعدة؛ تيار الباعث هو (β + 1)·I_B.

I_B = (2,7 − 0,7)/(10,2 + 201·1) = 9,47 µA

تيار المجمِّع

I_C = 200·9,47 µA = 1,894 mA

I_E = 201·9,47 µA = 1,903 mA

جهد المجمِّع–الباعث

V_CE = 18 − 1,894·1 − 1,903·1 = 14,2 V

الإجابة

V_CE = 14,2 V

24.الثنائيات والترانزستورات

الإجابة: R_B = 9,214 kΩ

BJT كمفتاح: لتشغيل الحمل تشغيلًا كاملًا يُدفع الترانزستور إلى التشبّع، حيث V_CE = V_CE(sat) ويحدّد الحمل تيار المجمِّع: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. يتطلّب التشبّع I_B = I_C(sat)/β على الأقل. إذا كان تيار القاعدة أصغر، يبقى الترانزستور في المنطقة الفعّالة و I_C = β·I_B.

تيار المجمِّع في التشبّع

I_C(sat) = (24 − 0,2)/680 = 35 mA

أدنى تيار قاعدة

I_B(min) = I_C(sat)/β = 35/150 = 233,3 µA

تيار القاعدة التصميمي

I_B = 2·233,3 µA = 466,7 µA

مقاومة القاعدة

R_B = (5 − 0,7)/I_B = 4,3 V/0,4667 mA = 9,214 kΩ

الإجابة

R_B = 9,214 kΩ

25.أنظمة العد

الإجابة: N = −8

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 = −8

الإجابة

N = −8

26.أنظمة العد

الإجابة: R = 196

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

بتًا ببت

الإزاحة إلى اليسار بمقدار 2 تنقل كل بت 2 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.

1111 0001 << 2

= 1100 0100

قيمة الناتج

1100 0100₂ = 196

الإجابة

R = 196

27.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 2

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

A′BC′ → m(2)

A′C → m(1, 3)

AC′ → m(4, 6)

B′C′ → m(0, 4)

جمّع واقرأ

F = C′ + A′

عُدّ الحروف

L = 2

الإجابة

L = 2

28.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 3

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

B′C, ACD′, A′B′D, ABD′

المضمّنات الأولية الجوهرية

B′C, A′B′D, ABD′

N = 3

الإجابة

N = 3

29.تحويلات لابلاس

الإجابة: f(0.25) = 4,715

تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e^−at ↔ 1/(s + a)، t·e^−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e^−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lim_s→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

أكمل المربّع

s² + 6s + 13 = (s + 3)² + 4 = (s + 3)² + 2²

طابق البسط

F(s) = 4·(s + 3)/((s + 3)² + 2²) + (27/2)·2/((s + 3)² + 2²)

التحويل العكسي

f(t) = e^−3t·(4·cos 2t + 13,5·sin 2t)

f(0,25) = e^−3·0,25·(4·cos(2·0,25) + 13,5·sin(2·0,25)) = 4,715

الإجابة

f(0,25) = 4,715

30.تحويلات لابلاس

الإجابة: y(0.3) = 4,511

حوّل المعادلة

(s² + 7s + 10)·Y(s) = 1s + 7 + 160/s

Y(s) = (s² + 7s + 160)/(s(s + 2)(s + 5))

الكسور الجزئية

A = 160/(2·5) = 16

B = 150/((−2)·3) = −25

C = 150/((−5)·(−3)) = 10

النتيجة

y(t) = 16 − 25·e^−2t + 10·e^−5t

y(0,3) = 4,511

الإجابة

y(0,3) = 4,511

تحقّق: y(0) = A + B + C = 1.

31.المخططات الصندوقية

الإجابة: T(0) = 0,8852

جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + K_p) مع K_p = G(0).

الحلقة الداخلية

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 3/(s + 1 + 3·2) = 3/(s + 7)

الحلقة الخارجية

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 54/(s + 7 + 54) = 54/(s + 61)

النتيجة

T(0) = 54/61 = 0,8852

الإجابة

T(0) = 0,8852

32.المخططات الصندوقية

الإجابة: K = 55

استجابة الاضطراب

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 2·9/(5 + 9K)

حلّ لإيجاد K

5 + 9K = 2·9/0,036 = 500

K = (500 − 5)/9 = 55

الإجابة

K = 55

33.الاستجابة الخطوية

الإجابة: σ = −4,5

الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jω_d مع ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}، وزمن الذروة t_p = π/ω_d، وزمن الاستقرار عند 2 % هو t_s ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).

قارن مع الصيغة القياسية

يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 69 → ωₙ = 8,307 rad/s

2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·8,307) = 0,5417

النتيجة

σ = −ζωₙ = −9/2 = −4,5

الإجابة

σ = −4,5

34.الاستجابة الخطوية

الإجابة: K = 31,23

دالة تحويل الحلقة المغلقة

T(s) = K/(s² + 4s + K)

نسبة التخميد من التجاوز

ζ = −ln(0,3)/√(π² + ln²(0,3)) = 0,3579

الكسب

ωₙ = 4/(2ζ) = 5,589 rad/s

K = ωₙ² = 31,23

الإجابة

K = 31,23

35.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: |G(jω)| = 14,68 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

اضرب المقادير

|G(j5)| = 648/(√(5² + 4²)·√(5² + 18²)) = 648/(6,403·18,68) = 5,417

النتيجة

20·log₁₀(5,417) = 14,68 dB

الإجابة

|G(jω)| = 14,68 dB

36.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: ω_c = 5,106 rad/s

تقاطع الكسب

ω⁴ + 4ω² − 784 = 0

ω² = (−4 + √(16 + 4·784))/2 = 26,07

ω_c = 5,106 rad/s

الإجابة

ω_c = 5,106 rad/s

37.الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

الإجابة: ω = 4,243 rad/s

معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.

جدول روث

s³ + 9s² + 18s + K = 0

s³: 1, 18

s²: 9, K

s¹: (9·18 − K)/9

s⁰: K

الكسب الحرج

K = 9·18 = 162

المعادلة المساعدة

عند الكسب الحرج يكون الصف s¹ صفرًا؛ ويعطي الصف s² الأقطاب الواقعة على المحور التخيلي.

9s² + 162 = 0 → s = ±j√18

ω = 4,243 rad/s

الإجابة

ω = 4,243 rad/s

38.الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

الإجابة: s_b = −1,691

المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.

الكسب على طول المحور الحقيقي

K(s) = −s(s + 4)(s + 8) = −(s³ + 12s² + 32s)

النقاط الحرجة

dK/ds = −(3s² + 24s + 32) = 0

s = (−24 ± √(576 − 384))/6 = −1,691, −6,309

اختر النقطة الواقعة على المحل الهندسي

يقع المحل الهندسي على المحور الحقيقي بين 0 و−4؛ أما الجذر الآخر فليس على المحل الهندسي.

s_b = −1,691

الإجابة

s_b = −1,691

39.خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

الإجابة: e_ss = 3,2

خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية e_ss = lim_s→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي K_p = lim G(s) وK_v = lim s·G(s) وK_a = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ e_ss = A/(1 + K_p)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/K_v، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/K_a. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.

ثابت التسارع

K_a = 5·1/4 = 1,25

خطأ القطع المكافئ

e_ss = 4/1,25 = 3,2

الإجابة

e_ss = 3,2

40.خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

الإجابة: %OS = 4,321 %

التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζω_ns + ω_n². عندئذٍ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}، وt_p = π/ω_d مع ω_d = ω_n√(1 − ζ²)، وt_s ≈ 4/(ζω_n).

كثير الحدود المميِّز

s(s + 8) + 8·4 = s² + 8s + 32

ωₙ وζ

ωₙ = √32 = 5,657 rad/s

ζ = 8/(2·5,657) = 0,7071

التجاوز

%OS = 100·e^{−0,7071π/√(1 − 0,7071²)} = 4,321 %

الإجابة

%OS = 4,321 %

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

المقاومات على التوالي والتوازي

الطريقة

تحليل العقد

الطريقة

تحليل الحلقات

الطريقة

التراكب

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة ثلاثية الطور

المحوّلات

دوائر مكبّرات العمليات

الثنائيات والترانزستورات

أنظمة العد

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الطريقة

الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

الطريقة

خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

التيار عبر R₂

الإجابة

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة B

الحل

القدرة التي يعطيها مصدر التيار

الإجابة

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة B

الحل

التيار في R₄

الإجابة

عيّن تيارات الحلقات

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

الحل

الإجابة

عيّن تيارات الحلقات

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 3

الحل

الإجابة

اكتب الاستجابة كمجموع إسهامات

حلّ لإيجاد الثابتين

توقّع التيار الجديد

الإجابة

الحالة 1 · V1 يعمل وحده

الحالة 2 · Is يعمل وحده

الحالة 3 · V2 يعمل وحده

اجمع المساهمات

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

الثابت الزمني والتيار النهائي

التيار في اللحظة المعطاة

الطاقة المخزّنة

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

المفاعلة

تيارات الفروع

الحالة 1 · V₁ يعمل وحده

الحالة 2 · I_s يعمل وحده

الحالة 3 · V₂ يعمل وحده

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة