أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و40 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.
أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.
مصدر الجهد Vₛ بين A و B طرفه + عند B، لذا يجعل VB − VA = Vₛ. استخدم تحليل العقد مع عقدة فائقة لإيجاد التيار Ix في مصدر الجهد، من A إلى B كما يوضّح السهم.
يُضبط مصدر التيار حتى يصبح جهد العقدة A مساويًا VA = 23 V. استخدم تحليل العقد لإيجاد تيار المصدر Is (بالاتجاه الموضّح).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد تيار الحلقة I1 (باتجاه عقارب الساعة).
استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR4 المارّ في R4 باتجاه السهم.
دائرة مقاومات خطية تحتوي على مصدر جهد واحد Vs ومصدر تيار واحد Is. يُقاس التيار I في مقاومة حِمل مرتين: مع Vs = 2 V و Is = 5 mA، يكون I = −2 mA؛ ومع Vs = 15 V و Is = 5 mA، يكون I = 4,5 mA. أوجد تيار الحِمل I عندما Vs = 20 V و Is = 4 mA.
استخدم مبدأ التراكب لإيجاد التيار IR2 المارّ في R2 باتجاه السهم.
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد vL على الملف عند t = 1 ms.
يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 15 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 9,48 V، بعد 100 ms بالضبط من البداية. مع R = 22 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.
دائرة RLC على التوالي مع C = 4,7 µF يجب أن ترنّ عند 2000 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد التيار الفعّال I.
يستهلك محرّك أحادي الطور 13 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.
يستهلك حِمل أحادي الطور 15 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 400 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد تيار الخط الجديد Inew.
حمل متوازن موصول Δ ممانعته 24 + j7 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 400 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية QC التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.
مكبّر مقاومة خرجه 20 Ω يغذّي مكبّر صوت 5 Ω عبر محوّل مثالي. لأقصى نقل للقدرة يجب أن يبدو مكبّر الصوت 20 Ω من جهة المكبّر. أوجد نسبة اللفّات a = N₁/N₂.
محوّل أحادي الطور 100 kVA مفقودات قلبه 400 W ومفقودات نحاسه 1000 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل Sη,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟
مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. أوجد جهد الخرج Vout.
مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. نسب المقاومات غير متطابقة. أوجد جهد الخرج Vout.
ترانزستور NPN بـ β = 150 منحاز بمقاومة قاعدة RB = 390 kΩ من المصدر VCC = 10 V. مقاومة المجمِّع RC = 470 Ω والباعث موصول بالأرضي. خذ VBE = 0,7 V وافترض أن الترانزستور في المنطقة الفعّالة. أوجد تيار المجمِّع IC بالـ mA.
لمنظم زينر 5,6 V مقاومة توالٍ 270 Ω. قد يرتفع الدخل إلى 22 V، وقد يكون الحمل مفصولًا. أوجد أكبر قدرة PZ,max يجب أن يبددها زينر.
النمط ذو 8 بتات 1111 1110 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟
يجب أن يعطي نظام كل واحد من 1062 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟
استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات (SOP) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 11, 13, 14). كم حرفًا L تحتوي في المجموع (المتغير ذو الشرطة يُعدّ حرفًا واحدًا)؟
للدالة F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 7, 8, 9, 11) + d(5, 13)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).
أوجد f(t) للدالة F(s) = (3s + 27)/(s² + 8s + 20) بإكمال المربّع، واحسب f(0,25).
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 6 و y′(0) = −2 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(0,25).
للنظام المُتحكَّم فيه G(s) = 7/(s + 2) حلقة تغذية راجعة سالبة داخلية (ثانوية) كسبها H₁ = 4. كسب متحكّم K = 7 وحلقة تغذية راجعة سالبة أحادية خارجية يُغلقان النظام. أوجد كسب التيار المستمر للحلقة المغلقة T(0).
النظام المُتحكَّم فيه G(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)) في حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية. استخدم معيار روث–هورفيتز لإيجاد أكبر كسب Kmax تكون عنده الحلقة المغلقة مستقرة.
لنظام دالة النقل G(s) = 124/(s² + 6s + 62) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد زمن الذروة tp للاستجابة الخطوية.
دائرة RLC على التسلسل فيها R = 62 Ω وL = 50 mH وC = 4,7 µF موصولة بخطوة جهد 24 V عند t = 0. المكثف غير مشحون ولا يمر تيار قبل الخطوة. أوجد زمن أول ذروة للجهد tp بوحدة ms.
لـ مرشح RL لتمرير الترددات العالية الموضح R = 1000 Ω, L = 10 mH. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 4 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد vout بالنسبة إلى vin، بالدرجات.
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 480/(s(s + 8)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.
لحلقة المخطط تغذية عكسية سالبة وL(s) = 280/(s(s + 2)(s + 5)). كم عدد أقطاب الحلقة المغلقة N الواقعة في النصف الأيمن من المستوى؟
يغادر المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)) المحور الحقيقي بين s = 0 وs = −1. أوجد نقطة الانفصال sb.
يُطبَّق الدخل r(t) = 2 + 5t (خطوة مع منحدر) على حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = 2/(s(s + 5)). أوجد خطأ الحالة المستقرة ess.
يتحكم متحكم PD بالصيغة C(s) = 10 + Kd·s في المحطة G(s) = 2/(s(s + 1)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد كسب المشتقة Kd الذي يعطي الحلقة المغلقة نسبة تخميد ζ = 0,5.
الإجابة: IR1 = 2,667 A
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.
الإجابة: Req = 15,56 Ω
المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.
ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.
الإجابة: Ix = 1,571 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
مصدر الجهد بين A و B يحمل تيارًا مجهولًا، لذا لا يمكن كتابة قانون كيرشوف للتيار عند A أو B منفصلتين. احصر A و B والمصدر في عقدة فائقة واحدة: التيار الداخل إليها يساوي التيار الخارج منها.
كل ما يمرّ عبر المصدر من A إلى B يخرج من العقدة B عبر R₂.
النتيجة السالبة تعني أن التيار الفعلي يجري عكس السهم.
الإجابة: Is = 3,229 A
تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.
VA معلوم، لذا تعطي هذه المعادلة VB.
التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.
الإجابة: I1 = 1,182 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: IR4 = 0,1628 A
تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.
ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2, I3. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).
تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.
الإجابة: I = 7,6 mA
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
كل إسهام يتناسب مع مصدره، بثابت يعتمد على المقاومات فقط.
الإجابة: IR2 = −0,6753 A
التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.
يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.
يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.
يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.
النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري عكس السهم في الواقع.
الإجابة: Vth = 2,647 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
الإجابة: Vth = −1,4 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
الإجابة: vL = 2,207 V
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.
الإجابة: C = 4,547 µF
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.
الإجابة: L = 1,347 mH
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).
الإجابة: I = 0,9214 A
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.
الإجابة: I = 94,2 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.
الإجابة: Inew = 38,27 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
الإجابة: P = 18,43 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,96، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
الإجابة: QC = 148,6 kvar
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الإجابة: a = 2
المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.
الإجابة: Sη,max = 63,25 kVA
مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·Pcu,fl. الكفاءة η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)، حيث Pout = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.
الإجابة: Vout = −5,645 V
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
التيار عبر R₁ يمرّ أيضًا عبر Rf.
الإجابة: Vout = −2,48 V
قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.
مع V₂ = 0 يرى V₁ مكبّرًا عاكسًا. ومع V₁ = 0 يُكبَّر V₊ بالكسب غير العاكس 1 + R₂/R₁.
الإجابة: IC = 3,577 mA
نقطة انحياز BJT: في المنطقة الفعّالة VBE = 0,7 V، و IC = β·IB، و IE = (β + 1)·IB. أوجد IB من حلقة القاعدة بقانون كيرشوف للجهد، ثم IC، ثم VCE من حلقة المجمِّع–الباعث. يُستبدل مقسّم الجهد عند القاعدة بمكافئ ثيفنن VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)، RTH = R₁∥R₂؛ وتظهر مقاومة الباعث أكبر بـ (β + 1) مرة في حلقة القاعدة.
تحقّق: VCE = 8,319 V أعلى بوضوح من 0,2 V، لذا الترانزستور فعلًا في المنطقة الفعّالة.
الإجابة: PZ,max = 340,1 mW
منظم زينر: يثبّت صمام زينر الثنائي المنحاز عكسيًا جهده VZ ما دام تياره فوق حد أدنى IZ,min. تأخذ المقاومة التوالية R الفرق بين الدخل والخرج: IR = (Vin − VZ)/R. وينقسم هذا التيار بين الحمل، IL = VZ/RL، وصمام زينر: IZ = IR − IL. صمّم لأسوأ الحالات: أدنى دخل مع أكبر حمل يجب أن يترك IZ,min مع ذلك، وأعلى دخل بلا حمل يعطي أكبر قدرة لصمام زينر PZ = VZ·IZ.
الإجابة: N = −2
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.
الإجابة: b = 11 bit
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
الإجابة: L = 21
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.
الإجابة: N = 4
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.
الإجابة: f(0.25) = 2,291
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: y(0.25) = 4,506
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق: y(0) = A + B = 6.
الإجابة: T(0) = 0,6203
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: Kmax = 390
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
يجب أن تكون كل عناصر العمود الأول موجبة.
الإجابة: tp = 0,4315 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: tp = 1,597 ms
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الإجابة: φ = 75,89 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: PM = 20,68 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الإجابة: N = 2
معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.
الكسب أعلى من الحدّ K = 70، لذا عبر زوج مركّب إلى النصف الأيمن من المستوى.
الإجابة: sb = −0,4869
المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.
يقع المحل الهندسي على المحور الحقيقي بين 0 و−1؛ أما الجذر الآخر فليس على المحل الهندسي.
الإجابة: ess = 12,5
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
الإجابة: Kd = 1,736 s
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
الحد التفاضلي يضيف تخميدًا دون تغيير ωₙ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical