أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و42 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 20 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 2 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 50 mm والطول 300 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 75 mm، وقطره الداخلي 38 mm، وطوله 3 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 1000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.
يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 300 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
عند نقطة σₓ = −30 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 25° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.
خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 8 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,2 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 40° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σn المؤثّر عبر درز اللحام.
كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من A. أوجد الترخيم δB عند الطرف الحر B.
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.
تُقذف كرة بسرعة 17 m/s وبزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة v التي ترتطم بها بالأرض.
لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 1500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,15 kg ويُضغط النابض بمقدار 2 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.
عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 8,4 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 3 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.
كتلة 12 kg على نابض جساءته 40 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 15 kN/m والسفلي k₂ = 12 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.
محرّك حراري عكوس (كارنو) يأخذ 3200 kJ من الحرارة من خزّان عند 475 °C ويطرد 1190 kJ في كل دورة. أوجد درجة حرارة الخزّان البارد TL بوحدة °C.
محرّكا كارنو يعملان على التوالي. يستقبل المحرّك A الحرارة من خزّان عند 750 °C ويطرد الحرارة إلى خزّان وسيط عند درجة الحرارة Tm. يأخذ المحرّك B تلك الحرارة كلها ويطرد الحرارة إلى خزّان عند 25 °C. ينتج المحرّكان الشغل نفسه. أوجد Tm بوحدة °C.
دورة ديزل مثالية نسبة انضغاطها r = 16 ونسبة قطعها rc = v₃/v₂ = 2,2. استخدم افتراضات الهواء البارد القياسي: الهواء غاز مثالي بحرارات نوعية ثابتة، k = 1,4، و cp = 1,005 kJ/(kg·K) و cv = 0,718 kJ/(kg·K). أوجد كفاءتها الحرارية η بالنسبة المئوية.
محطة توربين غازي تعمل بدورة برايتون نسبة ضغط ضاغطها 12. يدخل الهواء الضاغط عند 288 K والتوربين عند 1400 K. الآلتان كلتاهما أيزنتروبيتان. استخدم افتراضات الهواء البارد القياسي: الهواء غاز مثالي بحرارات نوعية ثابتة، k = 1,4، و cp = 1,005 kJ/(kg·K) و cv = 0,718 kJ/(kg·K). أوجد الشغل الصافي الخارج wnet لكل كيلوغرام من الهواء، بالـ kJ/kg.
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 30 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 2,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,62. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 150 mm إلى 100 mm بينما يرتفع 5 m. في المقطع 1 الضغط 240 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,5 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 17 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 58 m بينما يأخذ عمودها 16,3 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 11 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 350 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
جدار مكوّن من 150 mm من الخرسانة و 75 mm من الزجاج، ومساحته 20 m². الوجهان الخارجيان عند 23 °C و -9 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
جدار من 200 mm البوليسترين الممدّد و 100 mm ألواح الجبس يفصل غرفة عند 22 °C عن الهواء الخارجي عند -12 °C. معاملا الحمل 6 W/(m²·K) في الداخل و 20 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 6 m². أوجد درجة حرارة Ts السطح الداخلي للجدار.
تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1450 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n2.
في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (50 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج nout.
أوجد f(t) للدالة F(s) = (5s + 15)/(s² + 8s + 52) بإكمال المربّع، واحسب f(0,3).
يخضع نظام للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 8·u(t). يبدأ من السكون (y(0) = 0، y′(0) = 0) والدخل خطوة u(t) = 5 لـ t ≥ 0. استخدم تحويل لابلاس لإيجاد الخرج y(0,6).
حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية لها G(s) = 38/(s(s + 7)). المرجع منحدر r(t) = 10·t. أوجد خطأ الحالة المستقرة ess.
اختزل المخطط الصندوقي مع G₁ = 14/(s + 2) و G₂ = 9/(s + 8) وتغذية راجعة سالبة داخلية H₁ = 1 حول G₂ وتغذية راجعة سالبة خارجية H₂ = 0,2. أوجد كسب التيار المستمر T(0) للنسبة C(s)/R(s).
لنظام دالة النقل G(s) = 64/(s² + 13s + 64) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. القطبان هما s = σ ± jωd. أوجد الجزء الحقيقي σ.
لحلقة تغذية عكسية سالبة وحدوية G(s) = 145/(s(s + 8)). أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية للحلقة المغلقة باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).
يجب أن تتبع حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = K/(s(s + 10)) المنحدر r(t) = 10t بخطأ حالة مستقرة قدره 0,02. أوجد الكسب K.
يتحكم متحكم PD بالصيغة C(s) = 8 + Kd·s في المحطة G(s) = 1/(s(s + 4)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد كسب المشتقة Kd الذي يعطي الحلقة المغلقة نسبة تخميد ζ = 0,9.
الإجابة: RA = 66 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
الإجابة: MA = 266,7 kN·m
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
الإجابة: P = 57,49 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الإجابة: σmax = 302,4 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
الإجابة: φ = 0,7405 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
الإجابة: d = 46,62 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
الإجابة: Mx = 68,25 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
اتزان الكمرة كلها.
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
الإجابة: C (x = 2 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
الإجابة: σy′ = 66,35 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.
الإجابة: σn = 29,75 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.
خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.
الإجابة: δB = 15,48 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.
الإجابة: Ireq = 319,6 × 10⁶ mm⁴
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
الإجابة: Pcr = 94 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
الإجابة: σcr = 49,35 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
الإجابة: x = 32,53 m
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.
الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2vy/g.
الإجابة: v = 19,67 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.
تحقّق بالطاقة: v² = v₀² + 2gh.
الإجابة: h = 0,2039 m
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: N = 11,77 N
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.
تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.
الإجابة: fd = 6,562 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الإجابة: keq = 6,667 kN/m
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
الإجابة: TL = 5,068 °C
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
الإجابة: Tm = 387,5 °C
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
W = Q·(1 − Tlow/Thigh) و Q/T واحدة عند كل خزّان، لذا يتناسب W مع انخفاض درجة الحرارة.
الإجابة: η = 60,42 %
دورة ديزل (محرّك الاشتعال بالانضغاط): 1→2 انضغاط أيزنتروبي، 2→3 إضافة حرارة عند ضغط ثابت، 3→4 تمدّد أيزنتروبي، 4→1 طرد حرارة عند حجم ثابت. مع نسبة الانضغاط r = v₁/v₂ ونسبة القطع rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1، و T₃ = rc·T₂، و qin = cp·(T₃ − T₂) و η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
الإجابة: wnet = 416 kJ/kg
دورة برايتون (التوربين الغازي): 1→2 انضغاط أيزنتروبي، 2→3 إضافة حرارة عند ضغط ثابت، 3→4 تمدّد أيزنتروبي في التوربين، 4→1 طرد حرارة عند ضغط ثابت. مع نسبة الضغط rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k، و T₄ = T₃/rp(k−1)/k و η = 1 − 1/rp(k−1)/k. الشغل الصافي w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. مع الكفاءات الأيزنتروبية يحتاج الضاغط ws/ηc ويعطي التوربين ηt·ws.
نسبة الشغل المرتدّ: wc/wt = 41,84%.
الإجابة: Q = 3,069 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
الإجابة: p2 = 190,4 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
الإجابة: Δp = 135 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
الإجابة: Q = 136,8 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
الإجابة: η = 69,81 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
الإجابة: H = 48,68 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
الإجابة: Ti = 4,494 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
الإجابة: Ts = 21,13 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
الإجابة: n2 = 451,1 rpm
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
الإجابة: nout = 347,2 rpm
مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.
النسبة الكلية = 2,765 : 1
الإجابة: f(0.3) = −0,5866
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: y(0.6) = 2,985
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: ess = 1,842
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: T(0) = 2,128
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: σ = −6,5
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: ts = 1 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
في هذه الحلقة ζωₙ = a/2 مهما كانت K: زيادة K تزيد التجاوز لكنها لا تقصّر زمن الاستقرار.
الإجابة: K = 5000
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
الكسب الكبير يجعل هذه الحلقة قليلة التخميد جدًا: ζ = 0,07071. وهذا التعارض هو سبب استخدام المعوِّضات.
الإجابة: Kd = 1,091 s
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
الحد التفاضلي يضيف تخميدًا دون تغيير ωₙ.
هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical