أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و42 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RB، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
يجب أن ينقل عمود مصمت 100 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 7 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 130 MPa و σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 40° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.
كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء MA عند الطرف المثبَّت.
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 38 m/s ويجب أن تهبط على بعد 110 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.
تُقذف كرة بسرعة 22 m/s وبزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 50 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.
لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 200 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,25 kg ويُضغط النابض بمقدار 8 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.
عربة كتلتها 10 kg تُترك من السكون على ارتفاع 8 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 2,5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.
كتلة 15 kg يحملها نابض جساءته 4 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 120 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.
كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 10 kN/m و k₂ = 12 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.
يعمل محرّك حراري بين خزّان ساخن عند 550 °C وخزّان بارد عند 25 °C. يأخذ 1200 kJ من الحرارة. أوجد أكبر شغل Wmax يمكن أن ينتجه.
محرّكا كارنو يعملان على التوالي. يستقبل المحرّك A الحرارة من خزّان عند 1050 °C ويطرد الحرارة إلى خزّان وسيط عند درجة الحرارة Tm. يأخذ المحرّك B تلك الحرارة كلها ويطرد الحرارة إلى خزّان عند 10 °C. للمحرّكين الكفاءة الحرارية نفسها. أوجد Tm بوحدة °C.
دورة ديزل مثالية نسبة انضغاطها r = 19 ونسبة قطعها rc = v₃/v₂ = 3. استخدم افتراضات الهواء البارد القياسي: الهواء غاز مثالي بحرارات نوعية ثابتة، k = 1,4، و cp = 1,005 kJ/(kg·K) و cv = 0,718 kJ/(kg·K). أوجد كفاءتها الحرارية η بالنسبة المئوية.
محطة توربين غازي تعمل بدورة برايتون نسبة ضغط ضاغطها 12. يدخل الهواء الضاغط عند 290 K والتوربين عند 1400 K. الآلتان كلتاهما أيزنتروبيتان. استخدم افتراضات الهواء البارد القياسي: الهواء غاز مثالي بحرارات نوعية ثابتة، k = 1,4، و cp = 1,005 kJ/(kg·K) و cv = 0,718 kJ/(kg·K). أوجد الشغل الصافي الخارج wnet لكل كيلوغرام من الهواء، بالـ kJ/kg.
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 150 mm إلى 75 mm. في الجزء الواسع الضغط 350 kPa والسرعة 3 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 200 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 40 mm، تقع 2 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد سرعة النفث v. استخدم g = 9,81 m/s².
يجري ماء بمعدل 6 L/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 60 L/s؟
مضخة كفاءتها 75% تدفع 150 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 56 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 21 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
جدار مكوّن من 50 mm من ألواح الجبس و 25 mm من البوليسترين الممدّد، ومساحته 12 m². الوجهان الخارجيان عند 16 °C و -15 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
جدار من 150 mm ألواح الجبس و 150 mm البوليسترين الممدّد يفصل غرفة عند 22 °C عن الهواء الخارجي عند -12 °C. معاملا الحمل 8 W/(m²·K) في الداخل و 30 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 8 m². أوجد درجة حرارة Ts السطح الداخلي للجدار.
محرك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 15 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد العزم T1 على عمود المحرك.
في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 20 سنًّا ولكل ترس كوكبي 18 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1500 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي nr (مقدارها).
أوجد f(t) للدالة F(s) = (2s + 2)/(s² + 4s + 40) بإكمال المربّع، واحسب f(0,1).
حلّ y″ + 4y′ + 3y = 0 مع y(0) = 3 و y′(0) = −1 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(1,2).
للنظام المُتحكَّم فيه G(s) = 5/(s + 8) حلقة تغذية راجعة سالبة داخلية (ثانوية) كسبها H₁ = 5. كسب متحكّم K = 18 وحلقة تغذية راجعة سالبة أحادية خارجية يُغلقان النظام. أوجد قطب الحلقة المغلقة p.
النظام المُتحكَّم فيه G(s) = 36/(s(s + 2)) في حلقة تغذية راجعة سالبة كسب مستشعرها H = 2. أقطاب الحلقة المغلقة مركّبة. أوجد جزأها التخيّلي ωd (القيمة الموجبة)، بوحدة rad/s.
لنظام دالة النقل G(s) = 10,5/(s² + 4s + 21) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).
دائرة RLC على التسلسل فيها R = 52 Ω وL = 20 mH وC = 4,7 µF موصولة بخطوة جهد 10 V عند t = 0. المكثف غير مشحون ولا يمر تيار قبل الخطوة. أوجد النسبة المئوية للتجاوز %OS في جهد المكثف.
يُطبَّق الدخل r(t) = 1 + 2t (خطوة مع منحدر) على حلقة تغذية عكسية وحدوية فيها G(s) = 10(s + 2)/(s(s + 1)(s + 10)). أوجد خطأ الحالة المستقرة ess.
يتحكم متحكم PI بالصيغة C(s) = 1 + 10/s في المحطة G(s) = 5/((s + 5)(s + 10)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد خطأ الحالة المستقرة ess لدخل المنحدر r(t) = 1t.
الإجابة: RB = 128 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
عكس عقارب الساعة موجب.
RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.
الإجابة: RA = 27 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
الإجابة: ε = 12096 µε
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.
الإجابة: σmax = 238,7 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
الإجابة: φ = 18,68 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
الإجابة: d = 34,35 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
الإجابة: Mx = 31,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
اتزان الكمرة كلها.
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
الإجابة: Mmax = 63 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
اتزان الكمرة كلها.
يقع عند x = 1 m من A.
الإجابة: θp = 4,065 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
الإجابة: τθ = −9,563 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الإجابة: δmax = 6,422 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
الإجابة: MA = 16 kN·m
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).
بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.
قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.
عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.
الإجابة: Pcr = 410 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
الإجابة: d = 79,87 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 100,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
الإجابة: θ = 24,18 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
الحل الآخر 90° − θ = 65,82°.
الإجابة: H = 62,33 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
الإجابة: h = 0,261 m
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: N = 137,3 N
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.
تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.
الإجابة: ζ = 0,2449
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.
الإجابة: keq = 22 kN/m
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.
الإجابة: Wmax = 765,4 kJ
حدود القانون الثاني: لا يمكن لأي دورة تعمل بين خزّانين بدرجتي حرارة مطلقتين TH و TL أن تتفوّق على الدورة العكوسة (كارنو): ηmax = 1 − TL/TH، COPR,max = TL/(TH − TL) و COPHP,max = TH/(TH − TL). الطاقة محفوظة دائمًا: QH = W + QL.
الإجابة: Tm = 338,9 °C
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
1 − Tm/TH = 1 − TL/Tm يعطي Tm² = TH·TL.
الإجابة: η = 59,79 %
دورة ديزل (محرّك الاشتعال بالانضغاط): 1→2 انضغاط أيزنتروبي، 2→3 إضافة حرارة عند ضغط ثابت، 3→4 تمدّد أيزنتروبي، 4→1 طرد حرارة عند حجم ثابت. مع نسبة الانضغاط r = v₁/v₂ ونسبة القطع rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1، و T₃ = rc·T₂، و qin = cp·(T₃ − T₂) و η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
الإجابة: wnet = 413,9 kJ/kg
دورة برايتون (التوربين الغازي): 1→2 انضغاط أيزنتروبي، 2→3 إضافة حرارة عند ضغط ثابت، 3→4 تمدّد أيزنتروبي في التوربين، 4→1 طرد حرارة عند ضغط ثابت. مع نسبة الضغط rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k، و T₄ = T₃/rp(k−1)/k و η = 1 − 1/rp(k−1)/k. الشغل الصافي w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. مع الكفاءات الأيزنتروبية يحتاج الضاغط ws/ηc ويعطي التوربين ηt·ws.
نسبة الشغل المرتدّ: wc/wt = 42,13%.
الإجابة: p2 = 282,5 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
الإجابة: v = 20,96 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الإجابة: hf = 53,3 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
الإجابة: Δz = 4,964 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
الإجابة: Pshaft = 109,9 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
الإجابة: H = 42,5 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
الإجابة: Ti = 6,958 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
الإجابة: Ts = 21,2 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
الإجابة: T1 = 72,44 N·m
مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.
الإجابة: nr = 535,7 rpm
مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.
مع nc = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.
تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.
الإجابة: f(0.1) = 1,197
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
الإجابة: y(1.2) = 1,177
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق: y(0) = A + B = 3.
الإجابة: p = −123
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: ωd = 8,426 rad/s
جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).
الإجابة: ts = 2 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
الإجابة: %OS = 25,53 %
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الإجابة: ess = 1
خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.
الإجابة: ess = 1
التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).
s·C(s) = 1s + 10 → 10 عندما s → 0.
يزيل المتحكم PI خطأ الخطوة تمامًا؛ ويُتبع المنحدر بتأخر ثابت.
هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical