القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 75 mm. في الجزء الواسع الضغط 110 kPa والسرعة 0,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 110 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 25 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 3 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 1 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد معدّل التدفّق Q.
d = 25 mmzC = +3 mz2 = −1 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 80 L/s في أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 80 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,022) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 60 L/s؟
Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 85% تدفع 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 14 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 20 L/sH = 14 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 7 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2,5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 2,5
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 6 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,6 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,002. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 6 my = 0,6 mz = 1n = 0,014S = 0,002
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 15 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 15 m³/sb = 5 my = 1 mz = 3n = 0,03
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 39,24 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN
الإجابة
F = 39,24 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 233,1 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,5·6 = 233,1 kN
الإجابة
F = 233,1 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 109,4 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 110 + (−0,6076) = 109,4 kPa
الإجابة
p2 = 109,4 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 2,174 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·v = 0,0004909·4,429 = 0,002174 m³/s = 2,174 L/s
الإجابة
Q = 2,174 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 3,264 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,3)·1,132²/(2·9,81) = 3,264 m
الإجابة
hf = 3,264 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 3,365 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 11 + 6,1)·0,1859 = 3,365 m
الإجابة
H = 3,365 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 3,232 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·14 = 2,747 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 2,747/0,85 = 3,232 kW
الإجابة
Pshaft = 3,232 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 16,18 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 2,5)·0,408 = 9,181 m
سمت المضخة
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
H = Δz + hL = 7 + 9,181 = 16,18 m
الإجابة
H = 16,18 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 8,122 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (6 + 1·0,6)·0,6 = 3,96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 7,697 m
R = A/P = 0,5145 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,014)·0,51452/3·0,0021/2 = 2,051 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 3,96·2,051 = 8,122 m³/s
الإجابة
Q = 8,122 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,005029 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1)·1 = 8 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1·√(1 + 3²) = 11,32 m
R = A/P = 0,7064 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·15/(8·0,7932) = 0,07092
S = 0,07092² = 0,005029
الإجابة
S = 0,005029
هذا انخفاض قدره 5,029 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering