القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 50 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 2,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,65. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 50 mmh = 2,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 100 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 5 m. في المقطع 1 الضغط 200 kPa والسرعة 2 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 2 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 10 L/s في أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 10 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 100 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,018) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 15 L/s؟
Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 70% تدفع 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 60 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 15 L/sH = 60 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 9 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 82%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 82%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 6 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 6 my = 1,1 mn = 0,03S = 0,001
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 4,5 m يجب أن تنقل 12 m³/s بجريان منتظم عند عمق 2,5 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 12 m³/sb = 4,5 my = 2,5 mn = 0,03
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 88,29 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN
الإجابة
F = 88,29 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 180,8 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·4,5 = 180,8 kN
الإجابة
F = 180,8 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 8,938 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,001963·7,004 = 0,008938 m³/s = 8,938 L/s
الإجابة
Q = 8,938 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 121 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−30) − 49,05 = 121 kPa
الإجابة
p2 = 121 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 7,271 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 7,271 m
الإجابة
hf = 7,271 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 5,596 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 18 + 11,1)·0,1859 = 5,596 m
الإجابة
H = 5,596 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 12,61 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·60 = 8,829 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 8,829/0,7 = 12,61 kW
الإجابة
Pshaft = 12,61 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 6,306 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,2611 = 4,178 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 9 + 4,178 = 13,18 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·13,18/0,82 = 6,306 kW
الإجابة
Pshaft = 6,306 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 6,02 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 6·1,1 = 6,6 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1,1 = 8,2 m
R = A/P = 0,8049 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,03)·0,80492/3·0,0011/2 = 0,9121 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 6,6·0,9121 = 6,02 m³/s
الإجابة
Q = 6,02 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,0008173 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 4,5·2,5 = 11,25 m²
P = b + 2y = 4,5 + 2·2,5 = 9,5 m
R = A/P = 1,184 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·12/(11,25·1,119) = 0,02859
S = 0,02859² = 0,0008173
الإجابة
S = 0,0008173
هذا انخفاض قدره 0,8173 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering