القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 300 mm وقطر حلقه 150 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 59 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 59 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 32 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 1 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 1,5 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق pC عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.
d = 32 mmzC = +1 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 5 L/s في أنبوب طوله 1000 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 5 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 22 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 22 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 74 m بينما يأخذ عمودها 121 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 100 L/sH = 74 mPshaft = 121 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 30 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 85%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 50 L/sΔz = 30 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة تربة نظيفة عرضها 5 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 5 my = 1,1 mn = 0,022S = 0,001
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 450 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,9 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 38,63 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN
الإجابة
F = 38,63 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 3,8 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·2,25 = 104,3 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m
الإجابة
ycp = 3,8 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 198,3 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·59000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,22 m/s
v1 = 2,805 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,01767·11,22 = 0,1983 m³/s = 198,3 L/s
الإجابة
Q = 198,3 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: pC = 76,78 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
برنولي من السطح إلى C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 24,53 = 76,78 kPa
الإجابة
pC = 76,78 kPa
إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 145,4 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 145,4 m
الإجابة
hf = 145,4 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 129 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
22 = (13,5 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·22/25,6) = 4,106 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 4,106·0,03142 = 0,129 m³/s = 129 L/s
الإجابة
Q = 129 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 60 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·74 = 72,59 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 72,59/121 = 60%
الإجابة
η = 60%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 22,18 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,67 + 6)·0,408 = 8,433 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 30 + 8,433 = 38,43 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·38,43/0,85 = 22,18 kW
الإجابة
Pshaft = 22,18 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 6,606 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 5·1,1 = 5,5 m²
P = b + 2y = 5 + 2·1,1 = 7,2 m
R = A/P = 0,7639 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,022)·0,76392/3·0,0011/2 = 1,201 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 5,5·1,201 = 6,606 m³/s
الإجابة
Q = 6,606 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,002521 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,233)² = 0,002521
الإجابة
S = 0,002521
هذا انخفاض قدره 2,521 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering