القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 200 mm إلى 75 mm. في الجزء الواسع الضغط 130 kPa والسرعة 1 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 130 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
مقياس فنتوري أفقي (المدخل 250 mm، الحلق 125 mm) ينقل الماء. مانومتر زئبقي على شكل U موصول بين المدخل والحلق يُظهر فرقًا في المستوى مقداره 380 mm. معامل التصريف 0,98. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم ρ = 1000 kg/m³ للماء، و 13 600 kg/m³ للزئبق، و g = 9,81 m/s².
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 380 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,1 m/s في أنبوب أفقي طوله 100 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2,1 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 18 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 18 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 70% تدفع 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 42 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 80 L/sH = 42 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 9 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 10 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 1200 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0008
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 5 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 14 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,7 m. معامل مانينغ n = 0,025. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 14 m³/sb = 5 my = 1,7 mz = 1n = 0,025
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 60,7 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
الإجابة
F = 60,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 49,44 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·2 = 49,44 kN
الإجابة
F = 49,44 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 105,2 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(200/75)² = 7,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 7,111²)/1000 = −24,78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 130 + (−24,78) = 105,2 kPa
الإجابة
p2 = 105,2 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 120,4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
فرق الضغط من المانومتر
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,38 = 46970 Pa
سرعة الحلق
الاستمرارية وبرنولي معًا يعطيان سرعة الحلق المثالية.
β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·46970/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,01 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,01227·10,01 = 0,1204 m³/s = 120,4 L/s
الإجابة
Q = 120,4 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 16,17 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,3)·2,1²/(2·9,81) = 1,648 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,648 = 16170 Pa = 16,17 kPa
الإجابة
Δp = 16,17 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 152,9 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
18 = (7,5 + 7,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·18/14,9) = 4,868 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 4,868·0,03142 = 0,1529 m³/s = 152,9 L/s
الإجابة
Q = 152,9 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 47,09 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·42 = 32,96 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 32,96/0,7 = 47,09 kW
الإجابة
Pshaft = 47,09 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 1,738 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,08263 = 3,76 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 9 + 3,76 = 12,76 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,01·12,76/0,72 = 1,738 kW
الإجابة
Pshaft = 1,738 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 0,5514 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,013)·0,32/3·0,00081/2 = 0,975 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 0,5655·0,975 = 0,5514 m³/s
الإجابة
Q = 0,5514 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,0007736 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,7)·1,7 = 11,39 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,7·√(1 + 1²) = 9,808 m
R = A/P = 1,161 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·14/(11,39·1,105) = 0,02781
S = 0,02781² = 0,0007736
الإجابة
S = 0,0007736
هذا انخفاض قدره 0,7736 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering