القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 20 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 4,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,61. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 4,5 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 100 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 10 m. في المقطع 1 الضغط 330 kPa والسرعة 1,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 330 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 15 L/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 15 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 300 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 75 L/s؟
Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 52 m. كفاءة المضخة 85% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 60 L/sH = 52 mηpump = 85%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 22 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 20 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 600 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,004
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة مستطيلة خرسانة غير مشطّبة عرضها 2,5 m يجب أن تنقل 5,2 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 5,2 m³/sb = 2,5 my = 0,7 mn = 0,014
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 386,3 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN
الإجابة
F = 386,3 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 32,45 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·1,5 = 32,45 kN
الإجابة
F = 32,45 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 1,801 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0003142·9,396 = 0,001801 m³/s = 1,801 L/s
الإجابة
Q = 1,801 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 208,9 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/50)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 330 + (−22,97) − 98,1 = 208,9 kPa
الإجابة
p2 = 208,9 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 0,8814 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 0,8814 m
الإجابة
hf = 0,8814 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 1,018 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 13,33 + 3,4)·0,05738 = 1,018 m
الإجابة
H = 1,018 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 40,92 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·52 = 30,61 kW
قدرة العمود
Pshaft = 30,61/0,85 = 36,01 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 36,01/0,88 = 40,92 kW
الإجابة
Pel = 40,92 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 52,49 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,3305 = 15,2 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 22 + 15,29 + 15,2 = 52,49 m
الإجابة
H = 52,49 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 0,1942 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,013)·0,152/3·0,0041/2 = 1,373 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 0,1414·1,373 = 0,1942 m³/s
الإجابة
Q = 0,1942 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,005038 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 2,5·0,7 = 1,75 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·0,7 = 3,9 m
R = A/P = 0,4487 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·5,2/(1,75·0,5861) = 0,07098
S = 0,07098² = 0,005038
الإجابة
S = 0,005038
هذا انخفاض قدره 5,038 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering