القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 75 mm. في الجزء الواسع الضغط 290 kPa والسرعة 1,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 290 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 75 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 5 m. في المقطع 1 الضغط 340 kPa والسرعة 3 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 340 kPav1 = 3 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,1 m/s في أنبوب أفقي طوله 500 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2,1 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 10 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 10 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 14 m. كفاءة المضخة 72% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 95%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 20 L/sH = 14 mηpump = 72%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 8 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 75%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 6 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,4 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 6 my = 2,4 mn = 0,03S = 0,0015
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 1 m يجب أن تنقل 1,3 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,9 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 1,3 m³/sb = 1 my = 1,9 mn = 0,03
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 42,92 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN
الإجابة
F = 42,92 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 259,6 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·6 = 259,6 kN
الإجابة
F = 259,6 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 287,6 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(100/75)² = 2,667 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 2,667²)/1000 = −2,431 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 290 + (−2,431) = 287,6 kPa
الإجابة
p2 = 287,6 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 272,7 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(75/50)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−18,28) − 49,05 = 272,7 kPa
الإجابة
p2 = 272,7 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 132,3 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 13,49 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·13,49 = 132300 Pa = 132,3 kPa
الإجابة
Δp = 132,3 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 220,3 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
10 = (12,5 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·10/20,2) = 3,117 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 3,117·0,07069 = 0,2203 m³/s = 220,3 L/s
الإجابة
Q = 220,3 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 4,016 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·14 = 2,747 kW
قدرة العمود
Pshaft = 2,747/0,72 = 3,815 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 3,815/0,95 = 4,016 kW
الإجابة
Pel = 4,016 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 14,94 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52,8 + 8)·0,119 = 7,234 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 8 + 7,234 = 15,23 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·15,23/0,75 = 14,94 kW
الإجابة
Pshaft = 14,94 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 22,52 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 6·2,4 = 14,4 m²
P = b + 2y = 6 + 2·2,4 = 10,8 m
R = A/P = 1,333 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,03)·1,3332/3·0,00151/2 = 1,564 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 14,4·1,564 = 22,52 m³/s
الإجابة
Q = 22,52 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,00145 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 1·1,9 = 1,9 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1,9 = 4,8 m
R = A/P = 0,3958 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·1,3/(1,9·0,5391) = 0,03807
S = 0,03807² = 0,00145
الإجابة
S = 0,00145
هذا انخفاض قدره 1,45 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering