القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 200 mm وقطر حلقه 150 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 58 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 58 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 150 mm إلى 100 mm بينما يرتفع 6 m. في المقطع 1 الضغط 190 kPa والسرعة 2 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 190 kPav1 = 2 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 0,9 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 0,9 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 100 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 10 L/s؟
Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 80% تدفع 150 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 80 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 150 L/sH = 80 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 12 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 12 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة طوب عرضها 4,5 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,1 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 4,5 my = 2,1 mn = 0,015S = 0,0005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 375 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 157 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN
الإجابة
F = 157 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 3,889 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·2,5 = 115,9 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 1,302/(3,75·2,5) = 3,889 m
الإجابة
ycp = 3,889 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 230,2 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·58000/(1000·(1 − 0,3164))) = 13,03 m/s
v1 = 7,327 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,01767·13,03 = 0,2302 m³/s = 230,2 L/s
الإجابة
Q = 230,2 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 123 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/100)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−8,125) − 58,86 = 123 kPa
الإجابة
p2 = 123 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 10,93 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,2)·0,9²/(2·9,81) = 1,115 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,115 = 10935 Pa = 10,93 kPa
الإجابة
Δp = 10,93 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 1,851 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 15 + 6,4)·0,08263 = 1,851 m
الإجابة
H = 1,851 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 147,1 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·80 = 117,7 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 117,7/0,8 = 147,1 kW
الإجابة
Pshaft = 147,1 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 10,52 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,119 = 4,521 m
سمت المضخة
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
H = Δz + hL = 6 + 4,521 = 10,52 m
الإجابة
H = 10,52 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 14,89 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 4,5·2,1 = 9,45 m²
P = b + 2y = 4,5 + 2·2,1 = 8,7 m
R = A/P = 1,086 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,015)·1,0862/3·0,00051/2 = 1,575 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 9,45·1,575 = 14,89 m³/s
الإجابة
Q = 14,89 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,005714 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714
الإجابة
S = 0,005714
هذا انخفاض قدره 5,714 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering