القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 20 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 1,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,65. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 1,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 150 mm إلى 100 mm بينما يرتفع 3 m. في المقطع 1 الضغط 380 kPa والسرعة 3 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 380 kPav1 = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,7 m/s في أنبوب أفقي طوله 1000 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2,7 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 13 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 150 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 66 m. كفاءة المضخة 65% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 150 L/sH = 66 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 27 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 20 L/sΔz = 27 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة طوب عرضها 2 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,1 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2 my = 1,1 mn = 0,015S = 0,004
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 3,5 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 10 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,2 m. معامل مانينغ n = 0,022. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 10 m³/sb = 3,5 my = 1,2 mz = 1n = 0,022
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 294,3 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN
الإجابة
F = 294,3 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 138,1 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4·4 = 138,1 kN
الإجابة
F = 138,1 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 1,108 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·5,425 = 0,001108 m³/s = 1,108 L/s
الإجابة
Q = 1,108 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 332,3 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−18,28) − 29,43 = 332,3 kPa
الإجابة
p2 = 332,3 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 729 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,15)·2,7²/(2·9,81) = 74,31 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·74,31 = 729000 Pa = 729 kPa
الإجابة
Δp = 729 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 128,7 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
13 = (7,5 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·13/15,2) = 4,096 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 4,096·0,03142 = 0,1287 m³/s = 128,7 L/s
الإجابة
Q = 128,7 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 169,8 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·66 = 97,12 kW
قدرة العمود
Pshaft = 97,12/0,65 = 149,4 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 149,4/0,88 = 169,8 kW
الإجابة
Pel = 169,8 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 36,92 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,3305 = 9,915 m
سمت المضخة
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
H = Δz + hL = 27 + 9,915 = 36,92 m
الإجابة
H = 36,92 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 6,028 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m
R = A/P = 0,5238 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,015)·0,52382/3·0,0041/2 = 2,74 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 2,2·2,74 = 6,028 m³/s
الإجابة
Q = 6,028 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,001989 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,2)·1,2 = 5,64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 6,894 m
R = A/P = 0,8181 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·10/(5,64·0,8747) = 0,04459
S = 0,04459² = 0,001989
الإجابة
S = 0,001989
هذا انخفاض قدره 1,989 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering