القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء بمعدّل 36 L/s في أنبوب أفقي يضيق من 200 mm إلى 100 mm. الضغط في المقطع الضيق 170 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد الضغط p1 في المقطع الواسع.
Q = 36 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 170 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 40 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 3 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 4 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق pC عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.
d = 40 mmzC = +3 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,8 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 1,8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 100 L/s؟
Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 68 m بينما يأخذ عمودها 41,7 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 50 L/sH = 68 mPshaft = 41,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 12 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 120 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5η = 72%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 600 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,0005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 300 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 58,86 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
الإجابة
F = 58,86 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 2,8 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,5·9 = 226,2 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 6,75/(2,5·9) = 2,8 m
الإجابة
ycp = 2,8 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p1 = 179,8 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعات
v1 = Q/A1 = 0,036/0,03142 = 1,146 m/s
v2 = Q/A2 = 0,036/0,007854 = 4,584 m/s
برنولي
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 170 + ½·1000·(4,584² − 1,146²)/1000 = 170 + 9,848 = 179,8 kPa
الإجابة
p1 = 179,8 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: pC = 32,63 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
برنولي من السطح إلى C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,859²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa
الإجابة
pC = 32,63 kPa
إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 45,36 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,3)·1,8²/(2·9,81) = 4,624 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,624 = 45360 Pa = 45,36 kPa
الإجابة
Δp = 45,36 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 2,792 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
فاقد السمت الكلي
hf = 8,8·0,2115 = 1,861 m
hm = 4,4·0,2115 = 0,9307 m
Δz = hf + hm = 2,792 m
الإجابة
Δz = 2,792 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 79,99 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·68 = 33,35 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 33,35/41,7 = 79,99%
الإجابة
η = 79,99%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 39,64 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (35,2 + 5)·0,3046 = 12,24 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 12 + 12,24 = 24,24 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·24,24/0,72 = 39,64 kW
الإجابة
Pshaft = 39,64 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 0,06865 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,013)·0,152/3·0,00051/2 = 0,4856 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 0,1414·0,4856 = 0,06865 m³/s
الإجابة
Q = 0,06865 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,007694 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694
الإجابة
S = 0,007694
هذا انخفاض قدره 7,694 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering