القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 75 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 180 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 180 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
مقياس فنتوري أفقي (المدخل 100 mm، الحلق 60 mm) ينقل الماء. مانومتر زئبقي على شكل U موصول بين المدخل والحلق يُظهر فرقًا في المستوى مقداره 100 mm. معامل التصريف 0,97. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم ρ = 1000 kg/m³ للماء، و 13 600 kg/m³ للزئبق، و g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 100 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 12 L/s في أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 12 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 10 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 10 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 78% تدفع 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 52 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 30 L/sH = 52 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 36 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 120 L/sΔz = 36 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة خرسانة مشطّبة عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,5 m. معامل مانينغ n = 0,012 وميل القاع S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2,5 my = 2,5 mz = 1n = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 600 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 58,86 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
الإجابة
F = 58,86 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 116,5 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·4,5 = 116,5 kN
الإجابة
F = 116,5 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 179,5 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/50)² = 1,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−0,5078) = 179,5 kPa
الإجابة
p2 = 179,5 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 14,62 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
فرق الضغط من المانومتر
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,1 = 12361 Pa
سرعة الحلق
الاستمرارية وبرنولي معًا يعطيان سرعة الحلق المثالية.
β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·12361/(1000·(1 − 0,1296))) = 5,329 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,002827·5,329 = 0,01462 m³/s = 14,62 L/s
الإجابة
Q = 14,62 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 11,9 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,1)·1,528²/(2·9,81) = 11,9 m
الإجابة
hf = 11,9 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 275,7 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
10 = (10 + 2,9)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·10/12,9) = 3,9 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 3,9·0,07069 = 0,2757 m³/s = 275,7 L/s
الإجابة
Q = 275,7 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 19,62 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·52 = 15,3 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 15,3/0,78 = 19,62 kW
الإجابة
Pshaft = 19,62 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 78,78 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,3046 = 12,18 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 36 + 12,18 = 48,18 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·48,18/0,72 = 78,78 kW
الإجابة
Pshaft = 78,78 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 35,2 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·2,5)·2,5 = 12,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,5·√(1 + 1²) = 9,571 m
R = A/P = 1,306 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,012)·1,3062/3·0,00081/2 = 2,816 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 12,5·2,816 = 35,2 m³/s
الإجابة
Q = 35,2 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,003053 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053
الإجابة
S = 0,003053
هذا انخفاض قدره 3,053 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering