القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 150 mm إلى 100 mm. في الجزء الواسع الضغط 240 kPa والسرعة 3 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 240 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 75 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 5 m. في المقطع 1 الضغط 100 kPa والسرعة 2,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 100 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 0,9 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 0,9 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 80 L/s؟
Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 25 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 76 m بينما يأخذ عمودها 22,7 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 25 L/sH = 76 mPshaft = 22,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 7 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة مستطيلة خرسانة غير مشطّبة عرضها 6 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,3 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 6 my = 2,3 mn = 0,014S = 0,004
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 1,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 21 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,7 m. معامل مانينغ n = 0,022. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 21 m³/sb = 1,5 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,022
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 176,6 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN
الإجابة
F = 176,6 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 200,9 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·5 = 200,9 kN
الإجابة
F = 200,9 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 221,7 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−18,28) = 221,7 kPa
الإجابة
p2 = 221,7 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 35,59 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 100 + (−15,36) − 49,05 = 35,59 kPa
الإجابة
p2 = 35,59 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 12,15 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,2)·0,9²/(2·9,81) = 1,239 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,239 = 12150 Pa = 12,15 kPa
الإجابة
Δp = 12,15 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 1,814 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 6 + 6,4)·0,1354 = 1,814 m
الإجابة
H = 1,814 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 82,11 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·76 = 18,64 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 18,64/22,7 = 82,11%
الإجابة
η = 82,11%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 23,66 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,1469 = 6,463 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 10,19 + 6,463 = 23,66 m
الإجابة
H = 23,66 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 74,33 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 6·2,3 = 13,8 m²
P = b + 2y = 6 + 2·2,3 = 10,6 m
R = A/P = 1,302 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,014)·1,3022/3·0,0041/2 = 5,386 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 13,8·5,386 = 74,33 m³/s
الإجابة
Q = 74,33 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,005163 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,7)·1,7 = 6,885 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 7,629 m
R = A/P = 0,9024 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·21/(6,885·0,9338) = 0,07186
S = 0,07186² = 0,005163
الإجابة
S = 0,005163
هذا انخفاض قدره 5,163 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering