القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 200 mm إلى 100 mm. في الجزء الواسع الضغط 110 kPa والسرعة 2 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 110 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 75 mm إلى 25 mm بينما يرتفع 7 m. في المقطع 1 الضغط 360 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 360 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 4 L/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 4 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 60 L/s؟
Q = 60 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 20 m بينما يأخذ عمودها 5,6 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 20 L/sH = 20 mPshaft = 5,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 15 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 400 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 400 kPa
H = m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,7 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 2,5 my = 1,7 mz = 3n = 0,022S = 0,0005
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
قناة مستطيلة حصى عرضها 3 m يجب أن تنقل 2,3 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,9 m. معامل مانينغ n = 0,025. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).
Q = 2,3 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,025
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 36,79 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN
الإجابة
F = 36,79 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 18,54 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1·1,5 = 18,54 kN
الإجابة
F = 18,54 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 80 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/100)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 110 + (−30) = 80 kPa
الإجابة
p2 = 80 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 281,3 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/25)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−10) − 68,67 = 281,3 kPa
الإجابة
p2 = 281,3 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 18,61 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 18,61 m
الإجابة
hf = 18,61 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 2,772 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
فاقد السمت الكلي
hf = 24·0,07615 = 1,828 m
hm = 12,4·0,07615 = 0,9442 m
Δz = hf + hm = 2,772 m
الإجابة
Δz = 2,772 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 70,07 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·20 = 3,924 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 3,924/5,6 = 70,07%
الإجابة
η = 70,07%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 59,37 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0,2115 = 3,596 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 40,77 + 3,596 = 59,37 m
الإجابة
H = 59,37 m
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 12,91 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,7)·1,7 = 12,92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 13,25 m
R = A/P = 0,975 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,022)·0,9752/3·0,00051/2 = 0,9994 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 12,92·0,9994 = 12,91 m³/s
الإجابة
Q = 12,91 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,0009767 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²
P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m
R = A/P = 0,5625 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·2,3/(2,7·0,6814) = 0,03125
S = 0,03125² = 0,0009767
الإجابة
S = 0,0009767
هذا انخفاض قدره 0,9767 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering