القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
الهندسة الهيدروليكية: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
- معادلة مانينغ
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- معدّل التدفّق
- Q = A·V
- نصف القطر الهيدروليكي
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- مستطيل
- A = b·y, P = b + 2y
- شبه منحرف (ميل الجانب z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ
- R = D/4
- الميل المطلوب
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 40 mm. في الجزء الواسع الضغط 180 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 180 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
مقياس فنتوري أفقي (المدخل 300 mm، الحلق 150 mm) ينقل الماء. مانومتر زئبقي على شكل U موصول بين المدخل والحلق يُظهر فرقًا في المستوى مقداره 300 mm. معامل التصريف 0,98. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم ρ = 1000 kg/m³ للماء، و 13 600 kg/m³ للزئبق، و g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 300 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,2 m/s في أنبوب أفقي طوله 50 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2,2 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 75 L/s؟
Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 85% تدفع 25 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 38 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 25 L/sH = 38 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 8 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 82%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 2η = 82%
Pshaft = kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة
قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 4,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,8 m. معامل مانينغ n = 0,025 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
b = 4,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,025S = 0,0015
Q = m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 450 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 312,7 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN
الإجابة
F = 312,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 1,857 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,75·3 = 64,89 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,5625/(1,75·3) = 1,857 m
الإجابة
ycp = 1,857 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 175,2 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−4,758) = 175,2 kPa
الإجابة
p2 = 175,2 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 154 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
فرق الضغط من المانومتر
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,3 = 37082 Pa
سرعة الحلق
الاستمرارية وبرنولي معًا يعطيان سرعة الحلق المثالية.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·37082/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,894 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,01767·8,894 = 0,154 m³/s = 154 L/s
الإجابة
Q = 154 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 13,55 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,25)·2,2²/(2·9,81) = 1,381 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,381 = 13552 Pa = 13,55 kPa
الإجابة
Δp = 13,55 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 3,819 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
فاقد السمت الكلي
hf = 20·0,119 = 2,38 m
hm = 12,1·0,119 = 1,44 m
Δz = hf + hm = 3,819 m
الإجابة
Δz = 3,819 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 10,96 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·38 = 9,319 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 9,319/0,85 = 10,96 kW
الإجابة
Pshaft = 10,96 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 8,935 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 2)·0,408 = 6,937 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 8 + 6,937 = 14,94 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·14,94/0,82 = 8,935 kW
الإجابة
Pshaft = 8,935 kW
9.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: Q = 5,123 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الهندسة
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 4,56 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 7,384 m
R = A/P = 0,6175 m
السرعة المتجهة
V = (1/0,025)·0,61752/3·0,00151/2 = 1,123 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·V = 4,56·1,123 = 5,123 m³/s
الإجابة
Q = 5,123 m³/s
10.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)
الإجابة: S = 0,003112 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
نصف القطر الهيدروليكي
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,233)² = 0,003112
الإجابة
S = 0,003112
هذا انخفاض قدره 3,112 m لكل كيلومتر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering