الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++4 µC−−3 µCP10 cm

شحنة مقدارها +4 µC وشحنة مقدارها −3 µC تفصل بينهما مسافة 10 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 6 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +4 µCq2 = −3 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
L = 20 cm8°qq

كرتان صغيرتان متماثلتان، كتلة كلٍّ منهما 2 g، معلّقتان من النقطة نفسها بخيطين عازلين طولهما 20 cm. تُعطيان شحنتين متساويتين فيستقر كل خيط عند 8° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشحنة q على كل كرة بوحدة nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 5 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 20 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL33 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الطاقة W(∞) المخزّنة في الملف بعد استقرار الدائرة، بوحدة mJ.

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 33 mH
W(∞) = mJ
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​12 VR1​ = 33 ΩR2​ = 20 Ωيُفتح عند t = 0L68 mHi(t)

المفتاح الموصول على طرفي R2 مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد تيار الملف i عند t = 1 ms.

Vs = 12 VR1 = 33 ΩR2 = 20 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
2 A8 Ad = 3 cmP

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 3 cm يحملان تيارين قدرهما 2 A و 8 A في اتجاهين متعاكسين. جد مقدار كثافة التدفق المغناطيسي B عند النقطة P في منتصف المسافة بينهما.

I1 = 2 AI2 = 8 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
E = 8 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,2 TB2​ = 0,5 Tr = ?

يمر بروتون دون انحراف عبر منتقي سرعة بمجالين متعامدين E = 8 × 10⁴ V/m و B₁ = 0,2 T. ثم يدخل منطقة ثانية فيها مجال مغناطيسي فقط B₂ = 0,5 T، بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره هناك.

E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0,2 TB2 = 0,5 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
50 V500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2,2 µFI

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
I = A
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
50 V100 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩC = 22 µFI

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 2,685 × 10⁷ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,06² = 9,989 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,04² = 1,686 × 10⁷ N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |9,989 × 10⁶ + 1,686 × 10⁷| = 2,685 × 10⁷ N/C

الإجابة

E = 2,685 × 10⁷ N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: q = 30,83 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة الكهربائية من الاتزان

الجزء الأفقي من الشدّ يوازن F، وجزؤه الرأسي يوازن m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

المسافة الفاصلة

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

الشحنة

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 3,083 × 10⁻⁸ C = 30,83 nC

الإجابة

q = 30,83 nC
3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,9176 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6,154 Ω
Req = R1 + 6,154 = 20 + 6,154 = 26,15 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 24/26,15 = 0,9176 A

الإجابة

IR1 = 0,9176 A
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,163 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 25 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 20 + 10 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 5 Ω
R3 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5,676 Ω
Req = R1 + 5,676 = 25 + 5,676 = 30,68 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 5/30,68 = 0,163 A

الإجابة

IR1 = 0,163 A
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: W(∞) = 1,076 mJ

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0,2553 A

الطاقة المخزّنة

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0,2553² = 1,076 mJ

الإجابة

W(∞) = 1,076 mJ
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,2894 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.

i(0) = 12/33 = 0,3636 A
i(∞) = 12/(33 + 20) = 0,2264 A
τ = L/R = 68/53 = 1,283 ms
i(t) = 0,2264 + (0,3636 − 0,2264)·e−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(1) = 0,2264 + (0,1372)·e−1/1,283 = 0,2894 A

الإجابة

i = 0,2894 A
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: B = 133,3 µT

المجال المغناطيسي للتيارات: حول سلك مستقيم طويل تكون خطوط المجال دوائر (قاعدة قبضة اليد اليمنى) مع B = μ₀I/(2πr). وعند مركز ملف دائري مسطح من N لفة، B = μ₀NI/(2R). وداخل ملف لولبي طويل يكون المجال منتظمًا، B = μ₀nI مع n = N/L لفة لكل متر، أيًّا كان نصف القطر. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. اعمل بوحدات SI (الأمتار والأمبيرات)، واجمع مجالات عدة مصادر كمتجهات.

مجال كل سلك عند P

B1 = 2 × 10⁻⁷·2/0,015 = 26,67 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0,015 = 106,7 µT

ادمج

B = B₁ + B₂ = 133,3 µT

الإجابة

B = 133,3 µT
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,8355 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

السرعة المنتقاة

دون انحراف: القوة الكهربائية qE توازن القوة المغناطيسية qvB.

v = E/B1 = 8 × 10⁴/0,2 = 400000 m/s

نصف القطر في المجال الثاني

r = mv/(|q|B2) = 0,008355 m = 0,8355 cm

الإجابة

r = 0,8355 cm
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 2,57 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (12,39)²) = 19,46 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/19,46 = 2,57 A

الإجابة

I = 2,57 A
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 1,192 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 25,6 − j10,62 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 15 + 25,6 − j10,62 = 40,6 − j10,62 Ω
|Z| = √(40,6² + 10,62²) = 41,96 Ω

التيار

I = V/|Z| = 50/41,96 = 1,192 A

الإجابة

I = 1,192 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism