الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنة مقدارها +1 µC وشحنة مقدارها −10 µC تفصل بينهما مسافة 40 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 16 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 4,5 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 8 cm والمجال بينهما 3500 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 15 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µFt = 15 ms

v_C = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد تيار الملف i عند t = 1 ms.

V_s = 20 VR₁ = 47 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

قضيب معدني طوله 30 cm ينزلق بسرعة 4 m/s على سكتين في مجال منتظم قدره 0,4 T داخل الصفحة. السكتان موصولتان بمقاومة 4 Ω؛ ومقاومة القضيب والسكتين مهملة. جد القوة F اللازمة لإبقاء القضيب يتحرك بسرعة ثابتة (دون احتكاك).

B = 0,4 TL = 30 cmv = 4 m/sR = 4 Ω

F = mN

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف من 200 لفة أبعاده 8 cm × 10 cm يدور في مجال منتظم قدره 0,4 T حول محور عمودي على المجال. بأي سرعة n (بالدورات في الدقيقة) يجب أن يدور ليعطي ق.د.ك فعالة (rms) قدرها 56,87 V؟

N = 200A = 8 cm × 10 cmB = 0,4 TE_rms = 56,87 V

n = rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة ومكثّف موصولان على التوازي على مصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩC = 22 µF

φ = °

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 50 Ω و L = 5 mH و C = 0,01 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 1,912 × 10⁶ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,16² = 351172 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,24² = 1,561 × 10⁶ N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |351172 + 1,561 × 10⁶| = 1,912 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 1,912 × 10⁶ N/C

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 0,9727 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,08/4,5 × 10⁷ = 1,778 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3500/9,109 × 10⁻³¹ = 6,155 × 10¹⁴ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·6,155 × 10¹⁴·(1,778 × 10⁻⁹)² = 0,0009727 m = 0,9727 mm

الإجابة

y = 0,9727 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,6154 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 5·24/(5+24) = 4,138 Ω

R_eq = R₁ + 4,138 = 12 + 4,138 = 16,14 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16,14 = 0,7436 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,7436·12 = 3,077 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,077/5 = 0,6154 A

الإجابة

I_R2 = 0,6154 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,8069 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 6 + 12 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 5,538 Ω

R₃ + 5,538 = 17,54 Ω

R₂ ∥ 17,54 = 10,31 Ω

R_eq = R₁ + 10,31 = 12 + 10,31 = 22,31 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/22,31 = 0,8069 A

الإجابة

I_R1 = 0,8069 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 0,3537 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 9·1/(6,8 + 1) = 1,154 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 0,8718·47 = 40,97 ms

منحنى الشحن

v_C(t) = 1,154·(1 − e^−15/40,97) = 0,3537 V

الإجابة

v_C = 0,3537 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,3635 A

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.

i(0) = 20/47 = 0,4255 A

i(∞) = 20/(47 + 20) = 0,2985 A

τ = L/R = 100/67 = 1,493 ms

i(t) = 0,2985 + (0,4255 − 0,2985)·e^−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(1) = 0,2985 + (0,127)·e^−1/1,493 = 0,3635 A

الإجابة

i = 0,3635 A

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F = 14,4 mN

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك الحركية

ε = BLv = 0,4·0,3·4 = 0,48 V

التيار

I = ε/R = 0,48/4 = 0,12 A

قوة الكبح

قانون لنز: القوة المؤثرة في التيار المحثوث تعاكس الحركة.

F = BIL = 0,4·0,12·0,3 = 0,0144 N

الإجابة

F = 14,4 mN

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: n = 1200 rpm

ق.د.ك العظمى

E₀ = √2·E_rms = 80,43 V

السرعة الزاوية

ω = E₀/(NBA) = 80,43/(200·0,4·0,008) = 125,7 rad/s

الدورات في الدقيقة

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

الإجابة

n = 1200 rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −39,67 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 50/30 = 1,667 A

I_X = V/X_C = 50/36,17 = 1,382 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 1,382²) = 2,165 A

زاوية الطور

تيار المكثّف يتقدّم على V، لذا يتقدّم التيار الكلي وتكون الزاوية سالبة.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(1,382/1,667) = −39,67°

الإجابة

φ = −39,67°

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: B = 1592 Hz

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,01·10⁻⁶)) = 14,14

عرض النطاق

B = f₀/Q = 22508/14,14 = 1592 Hz

الإجابة

B = 1592 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism