الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنتان مقدارهما +3 µC و +6 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 20 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +3 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCd = 20 cm

x = cm

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

ثلاث شحنات نقطية موجبة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية: q₃ = 6 µC عند رأس الزاوية القائمة، و q₁ = 10 µC على بعد 10 cm منها على أحد الضلعين، و q₂ = 10 µC على بعد 10 cm منها على الضلع الآخر. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصلة F على q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يحمل الملف تيارًا مستقرًا 2,5 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. كم يستغرق التيار لينخفض إلى 0,25 A؟ أوجد t.

i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 100 mH

t = ms

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 15 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 9,48 V، بعد 1000 ms بالضبط من البداية. مع R = 4,7 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

V_s = 15 VV_th = 9,48 VT = 1000 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

حلقة مربعة تتحرك نحو اليمين لتدخل منطقة فيها مجال مغناطيسي منتظم متجه داخل الصفحة. انقر على اتجاه التيار المحثوث في الحلقة كما يظهر في الرسم، أثناء دخول الحلقة المجال.

B: داخل الصفحةالدخول إلى المجال

1باتجاه عقارب الساعة
2عكس عقارب الساعة

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يتغير التيار في محث قدره 50 mH بانتظام من 3 A إلى 2 A خلال 2 ms. جد مقدار ق.د.ك الحث الذاتي ε.

L = 50 mH3 A → 2 AΔt = 2 ms

ε = V

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 8,284 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

3/x² = 6/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(6/3) = 1,414

الموضع

x = 20/(1 + 1,414) = 8,284 cm

الإجابة

x = 8,284 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 76,28 N

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

كل قوة على q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,1² = 53,94 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,1² = 53,94 N

المجموع المتجهي

F = √(53,94² + 53,94²) = 76,28 N

الإجابة

F = 76,28 N

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 12,94 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 12·35/(12+35) = 8,936 Ω

R_eq = R₁ + 8,936 = 4 + 8,936 = 12,94 Ω

الإجابة

R_eq = 12,94 Ω

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 7,333 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6 Ω

R₃ + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 4 + 3,333 = 7,333 Ω

الإجابة

R_eq = 7,333 Ω

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 2,303 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,25)

t = 1·ln(10) = 2,303 ms

الإجابة

t = 2,303 ms

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 212,8 µF

الثابت الزمني المطلوب

9,48 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 9,48))

τ = 1000/0,9997 = 1000 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 1000/4,7 = 212,8 µF

الإجابة

C = 212,8 µF

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: عكس عقارب الساعة

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

تغير التدفق

يزداد التدفق الداخل في الصفحة، أو ينقص التدفق الخارج منها.

مجال التيار المحثوث

التيار المحثوث يعاكس التغير.

المجال المحثوث داخل الحلقة: خارج من الصفحة.

اتجاه التيار

قاعدة قبضة اليد اليمنى: التيار عكس عقارب الساعة يعطي مجالًا خارجًا من الصفحة داخل الحلقة.

عكس عقارب الساعة

الإجابة

عكس عقارب الساعة

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 25 V

ق.د.ك الحث الذاتي

تعاكس ق.د.ك تغير التيار (لنز)، فإشارتها عكس إشارة ΔI؛ ومقدارها L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·1/0,002 = 25 V

الإجابة

ε = 25 V

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,0521 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (456,8)²) = 460,7 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/460,7 = 0,0521 A

الإجابة

I = 0,0521 A

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 71,18 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·100·10⁻⁶)) = 71,18 Hz

الإجابة

f₀ = 71,18 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism