الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++3 µC−−6 µCr = 40 cm

كرتان معدنيتان صغيرتان متماثلتان تحملان شحنتين مقدارهما +3 µC و −6 µC. تُلامَسان ثم تُعادان إلى مسافة 40 cm بينهما. أوجد مقدار القوة F بينهما الآن. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +3 µCq2 = −6 µCr = 40 cm
F = N
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
+ + + + + +− − − − − −e⁻5 × 10⁷ m/s10 cmE = 1100 N/C

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 5 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 10 cm والمجال بينهما 1100 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 1100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​8 ΩB

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​2 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​5 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 90% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

Vs = 5 VR = 22 ΩL = 220 mH
t = ms
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​15 Vt = 0R = 4,7 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 6 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 15 ms.

Vs = 15 VR = 4,7 kΩC = 10 µFvC(0) = 6 Vt = 15 ms
vC = V
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
R = 1 Ωv = 6 m/sL = 20 cmB = 0,25 T

قضيب معدني طوله 20 cm ينزلق بسرعة 6 m/s على سكتين في مجال منتظم قدره 0,25 T داخل الصفحة. جد ق.د.ك المحثوثة ε بين طرفيه.

B = 0,25 TL = 20 cmv = 6 m/s
ε = mV
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
I = 2,5 Al = 40 cmN = 1000, ⌀ 5 cm

ملف لولبي هوائي القلب طويل له 1000 لفة وطوله 40 cm وقطره 5 cm. جد الطاقة W المخزَّنة في مجاله المغناطيسي عندما يحمل 2,5 A.

N = 1000l = 40 cm⌀ = 5 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
Vf0​ = 500 HzRL = 5 mHC = ?

دائرة RLC على التوالي مع L = 5 mH يجب أن ترنّ عند 500 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f0 = 500 HzL = 5 mH
C = µF
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
120 V500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 47 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد تردّد الرنين f0 للدائرة.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 47 µF
f0 = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 0,1264 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الشحنة بعد التلامس

q′ = (3 + −6)/2 = −1,5 µC

القوة الجديدة

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,1264 N

الإجابة

F = 0,1264 N

الكرتان الآن لهما الإشارة نفسها، لذا تتنافران.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 0,3869 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,1/5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1100/9,109 × 10⁻³¹ = 1,935 × 10¹⁴ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·1,935 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0003869 m = 0,3869 mm

الإجابة

y = 0,3869 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 7,2 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​8 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 6 + 8 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4,2 Ω
Req = R1 + 4,2 = 3 + 4,2 = 7,2 Ω

الإجابة

Req = 7,2 Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 36,89 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​2 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 20 + 2 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 11,7 Ω
R3 + 11,7 = 19,7 Ω
R2 ∥ 19,7 = 11,89 Ω
Req = R1 + 11,89 = 25 + 11,89 = 36,89 Ω

الإجابة

Req = 36,89 Ω
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 23,03 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0,2273 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −10·ln(0,1) = 23,03 ms

الإجابة

t = 23,03 ms
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 8,459 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms
vC(t) = 15 + (6 − 15)·e−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

vC(15) = 15 + (−9)·e−15/47 = 8,459 V

الإجابة

vC = 8,459 V
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 300 mV

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك الحركية

ε = BLv = 0,25·0,2·6 = 0,3 V

الإجابة

ε = 300 mV
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: W = 19,28 mJ

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

الحث الذاتي

L = μ₀N²A/l = 6,169 mH

الطاقة المخزّنة

W = ½LI² = ½·0,006169·2,5² = 0,01928 J = 19,28 mJ

الإجابة

W = 19,28 mJ
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 20,26 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,005) = 20,26 µF

الإجابة

C = 20,26 µF
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f0 = 164,2 Hz

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

الإجابة

f0 = 164,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism