الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++5 µC−−1 µCP60 cm

شحنة مقدارها +5 µC وشحنة مقدارها −1 µC تفصل بينهما مسافة 60 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 36 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +5 µCq2 = −1 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
L = 60 cm10°qq

كرتان صغيرتان متماثلتان، كتلة كلٍّ منهما 2 g، معلّقتان من النقطة نفسها بخيطين عازلين طولهما 60 cm. تُعطيان شحنتين متساويتين فيستقر كل خيط عند 10° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشحنة q على كل كرة بوحدة nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​6 ΩB

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL220 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 10 ms.

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​9 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 24 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 30 ms.

Vs = 9 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 24 Vt = 30 ms
vC = V
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
+v = 6 × 10⁶ m/sr = ?B = 0,2 T

يتحرك جسيم ألفا بسرعة 6 × 10⁶ m/s عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم قدره 0,2 T. جد نصف القطر r لمساره الدائري.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 0,2 T
r = cm
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
l = 50 cmN = 1000, ⌀ 4 cm

ملف لولبي هوائي القلب طويل له 1000 لفة وطوله 50 cm وقطره 4 cm. جد حثه الذاتي L.

N = 1000l = 50 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
24 V100 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
120 V50 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 80 ΩC = 10 µF

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 120 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR1 = 15 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 502913 N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,36² = 346836 N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0,24² = 156076 N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |346836 + 156076| = 502913 N/C

الإجابة

E = 502913 N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: q = 129,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة الكهربائية من الاتزان

الجزء الأفقي من الشدّ يوازن F، وجزؤه الرأسي يوازن m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

المسافة الفاصلة

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

الشحنة

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 1,293 × 10⁻⁷ C = 129,3 nC

الإجابة

q = 129,3 nC
3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 0,9112 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​6 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 8 + 6 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω
Req = R1 + 6,462 = 10 + 6,462 = 16,46 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 15/16,46 = 0,9112 A

الإجابة

IR1 = 0,9112 A
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 39,89 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 2,743 Ω
R3 + 2,743 = 14,74 Ω
R2 ∥ 14,74 = 9,885 Ω
Req = R1 + 9,885 = 30 + 9,885 = 39,89 Ω

الإجابة

Req = 39,89 Ω
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,2986 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0,5 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,5·(1 − e−10/11) = 0,2986 A

الإجابة

i = 0,2986 A
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 15,04 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 9 + (24 − 9)·e−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

vC(30) = 9 + (15)·e−30/33 = 15,04 V

الإجابة

vC = 15,04 V
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 62,22 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

موازنة القوى

القوة المغناطيسية عمودية دائمًا على السرعة، لذا تحني المسار إلى دائرة.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

نصف القطر

r = 6,645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,6222 m = 62,22 cm

الإجابة

r = 62,22 cm
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: L = 3,158 mH

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

المقطع العرضي

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

الحث الذاتي

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,001257/0,5 = 0,003158 H = 3,158 mH

الإجابة

L = 3,158 mH
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −76,21 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−244,4)²) = 251,6 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−244,4/60) = −76,21°

الإجابة

φ = −76,21°
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 92,21 Ω

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 75,25 − j18,91 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 15 + 75,25 − j18,91 = 90,25 − j18,91 Ω
|Z| = √(90,25² + 18,91²) = 92,21 Ω

الإجابة

|Z| = 92,21 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism