الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++8 µC++4 µCE = 060 cm

شحنتان مقدارهما +8 µC و +4 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 60 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +8 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q1 = +8 µCq2 = +4 µCd = 60 cm
x = cm
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
++P2 × 8 cm8 cm+2 µC+2 µC

شحنتان مقدارهما +2 µC و +2 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 16 cm. تقع النقطة P على بعد 8 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = +2 µCd = 16 cmh = 8 cm
E = N/C
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

أوجد التيار IR1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R1.

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 6,8 kΩC100 µF+−vC​

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الثابت الزمني τ للدائرة بعد إغلاق المفتاح.

Vs = 6 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 100 µF
τ = ms
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC?+−vC​

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 9 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 5,4 V، بعد 200 ms بالضبط من البداية. مع R = 10 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

Vs = 9 VVth = 5,4 VT = 200 msR = 10 kΩ
C = µF
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
nBA = 150 cm², N = 100B = 0,4 T

ملف من 100 لفة مساحته 150 cm². يُقلب الملف (يُدار 180°) في مجال منتظم قدره 0,4 T عمودي على مستواه، خلال 50 ms. جد متوسط ق.د.ك المحثوثة ε.

N = 100A = 150 cm²B = 0,4 TΔt = 50 ms
ε = V
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
L1​ = 10 mH100 A/sL2​ = 50 mHk = 0,3ε = ?

لملفين حثّان ذاتيان قدرهما 10 mH و 50 mH ومعامل اقتران 0,3. يتغير التيار في الملف الأول بمعدل 100 A/s. جد ق.د.ك ε المحثوثة في الملف الثاني.

L1 = 10 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 100 A/s
ε = V
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
120 V200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µFI

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد معامل القدرة cos φ للدائرة.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF
cos φ =
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
50 V60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 35,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

8/x² = 4/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(4/8) = 0,7071

الموضع

x = 60/(1 + 0,7071) = 35,15 cm

الإجابة

x = 35,15 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 1,987 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(8² + 8²) = 11,31 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1131² = 1,405 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد الخط الواصل بين الشحنتين.

E = 2·E1·(h/r) = 2·1,405 × 10⁶·0,7071 = 1,987 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 1,987 × 10⁶ N/C

يتجه المجال على امتداد المنصّف، بعيدًا عن الشحنتين.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR1 = 1,352 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω
Req = R1 + 7,097 = 4 + 7,097 = 11,1 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 15/11,1 = 1,352 A

الإجابة

IR1 = 1,352 A
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 28,37 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​18 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 8,571 Ω
R3 + 8,571 = 12,57 Ω
R2 ∥ 12,57 = 8,365 Ω
Req = R1 + 8,365 = 20 + 8,365 = 28,37 Ω

الإجابة

Req = 28,37 Ω
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: τ = 87,18 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد Rth؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ
vC(∞) = 6·6,8/(1 + 6,8) = 5,231 V

الثابت الزمني

τ = Rth·C = 0,8718·100 = 87,18 ms

الإجابة

τ = 87,18 ms
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 21,83 µF

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني المطلوب

5,4 = 9·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 5,4))
τ = 200/0,9163 = 218,3 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 218,3/10 = 21,83 µF

الإجابة

C = 21,83 µF
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 24 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

تغير التدفق لكل لفة

ΔΦ = 2·0,4·0,015 = 0,012 Wb

متوسط ق.د.ك

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,012/0,05 = 24 V

الإجابة

ε = 24 V
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 0,6708 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

الحث التبادلي

M = 0,3·√(10·50) = 6,708 mH

القوة الدافعة المحثوثة

ε = M·di/dt = 0,006708·100 = 0,6708 V

الإجابة

ε = 0,6708 V
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: cos φ = 0,3447

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

XL = 188,5 Ω, XC = 79,58 Ω

المعاوقة

|Z| = √(40² + (108,9)²) = 116 Ω

معامل القدرة

cos φ = R/|Z| = 40/116 = 0,3447
الدائرة حثية، لذا معامل القدرة متأخّر.

الإجابة

cos φ = 0,3447
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,599 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−82,87)²) = 83,47 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/83,47 = 0,599 A

الإجابة

I = 0,599 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism