الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++4 µC−−1 µCP40 cm

شحنة مقدارها +4 µC وشحنة مقدارها −1 µC تفصل بينهما مسافة 40 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 30 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +4 µCq2 = −1 µCr1 = 30 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
3 cm8 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +3 µC

ثلاث شحنات نقطية موجبة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية: q₃ = 2 µC عند رأس الزاوية القائمة، و q₁ = 1 µC على بعد 3 cm منها على أحد الضلعين، و q₂ = 3 µC على بعد 8 cm منها على الضلع الآخر. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصلة F على q₃.

q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 2 µCr13 = 3 cmr23 = 8 cm
F = N
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​15 ΩB

أوجد التيار IR2 عبر R2.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​8 Ω

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 ΩR5 = 10 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​15 Vt = 0R = 33 ΩL220 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 99% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

Vs = 15 VR = 33 ΩL = 220 mH
t = ms
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​12 Vt = 0R = 3,3 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 8 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 60 ms.

Vs = 12 VR = 3,3 kΩC = 22 µFvC(0) = 8 Vt = 60 ms
vC = V
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
nBA = 50 cm², N = 500B: 0 → 0,4 T

ملف من 500 لفة ومساحته 50 cm² ومقاومته 25 Ω يشكّل دارة مغلقة. مجال منتظم عمودي على الملف يرتفع بانتظام من 0 T إلى 0,4 T خلال 100 ms. جد متوسط التيار المحثوث I.

N = 500A = 50 cm²B: 0 T → 0,4 TΔt = 100 msR = 25 Ω
I = mA
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
V = 10000 VB = 0,3 Tr = ?

يبدأ بروتون من السكون، ويُسرَّع عبر فرق جهد 10000 V ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا قدره 0,3 T بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره في المجال.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,3 T
r = cm
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 0,22 µF

دائرة RLC على التوالي مع C = 0,22 µF يجب أن ترنّ عند 5000 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f0 = 5000 HzC = 0,22 µF
L = mH
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
100 V200 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 60 ΩC = 47 µFI

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 100 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR1 = 10 ΩR2 = 60 ΩC = 47 µF
I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 1,299 × 10⁶ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0,1² = 899000 N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |399556 + 899000| = 1,299 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 1,299 × 10⁶ N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 21,68 N

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

كل قوة على q₃

F1 = k·1·2 × 10⁻¹²/0,03² = 19,98 N
F2 = k·3·2 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

المجموع المتجهي

F = √(19,98² + 8,428²) = 21,68 N

الإجابة

F = 21,68 N
3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR2 = 0,8372 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 15 + 15 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω
Req = R1 + 6,316 = 5 + 6,316 = 11,32 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 12/11,32 = 1,06 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,06·5 = 6,698 V
IR2 = VA/R2 = 6,698/8 = 0,8372 A

الإجابة

IR2 = 0,8372 A
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 6,152 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​8 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 10 + 8 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 9,474 Ω
R3 + 9,474 = 24,47 Ω
R2 ∥ 24,47 = 4,152 Ω
Req = R1 + 4,152 = 2 + 4,152 = 6,152 Ω

الإجابة

Req = 6,152 Ω
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 30,7 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0,4545 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −6,667·ln(0,01) = 30,7 ms

الإجابة

t = 30,7 ms
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 10,25 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms
vC(t) = 12 + (8 − 12)·e−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

vC(60) = 12 + (−4)·e−60/72,6 = 10,25 V

الإجابة

vC = 10,25 V
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: I = 400 mA

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

تغير التدفق لكل لفة

ΔΦ = (0,4 − 0)·0,005 = 0,002 Wb

متوسط ق.د.ك

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,002/0,1 = 10 V

التيار

I = ε/R = 10/25 = 0,4 A

الإجابة

I = 400 mA
8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 4,817 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

السرعة بعد التسارع

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 1,384 × 10⁶ m/s

نصف القطر في المجال

r = mv/(|q|B) = 0,04817 m = 4,817 cm

الإجابة

r = 4,817 cm

بالدمج: r = √(2mV/|q|)/B، لذا تتحرك الأيونات الأثقل ذات الشحنة نفسها على دوائر أكبر؛ وبهذا تُفصل النظائر.

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 4,606 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0,22·10⁻⁶) = 4,606 mH

الإجابة

L = 4,606 mH
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 4,693 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 4,425 − j15,68 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 10 + 4,425 − j15,68 = 14,43 − j15,68 Ω
|Z| = √(14,43² + 15,68²) = 21,31 Ω

التيار

I = V/|Z| = 100/21,31 = 4,693 A

الإجابة

I = 4,693 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism