الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنتان مقدارهما +8 µC و +4 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 10 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +8 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCd = 10 cm

x = cm

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

شحنتان مقدارهما +2 µC و +2 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 6 cm. تقع النقطة P على بعد 6 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 6 cmh = 6 cm

E = N/C

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 50 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 68 µFt = 50 ms

v_C = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد تيار الملف i عند t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

قضيب معدني طوله 30 cm ينزلق بسرعة 1 m/s على سكتين في مجال منتظم قدره 0,8 T داخل الصفحة. جد ق.د.ك المحثوثة ε بين طرفيه.

B = 0,8 TL = 30 cmv = 1 m/s

ε = mV

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يتغير التيار في محث قدره 200 mH بانتظام من 0 A إلى 1,5 A خلال 50 ms. جد مقدار ق.د.ك الحث الذاتي ε.

L = 200 mH0 A → 1,5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 20 Ω و L = 20 mH و C = 0,22 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

B = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 5,858 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

8/x² = 4/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(4/8) = 0,7071

الموضع

x = 10/(1 + 0,7071) = 5,858 cm

الإجابة

x = 5,858 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 7,147 × 10⁶ N/C

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(3² + 6²) = 6,708 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,06708² = 3,996 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد الخط الواصل بين الشحنتين.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·3,996 × 10⁶·0,8944 = 7,147 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 7,147 × 10⁶ N/C

يتجه المجال على امتداد المنصّف، بعيدًا عن الشحنتين.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 1,821 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω

R_eq = R₁ + 7,886 = 2 + 7,886 = 9,886 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,886 = 1,821 A

الإجابة

I_R1 = 1,821 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,1769 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 7,297 Ω

R₃ + 7,297 = 9,297 Ω

R₂ ∥ 9,297 = 6,777 Ω

R_eq = R₁ + 6,777 = 30 + 6,777 = 36,78 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/36,78 = 0,6526 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0,6526·30 = 4,423 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,423/25 = 0,1769 A

الإجابة

I_R2 = 0,1769 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 1,311 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 15·2,2/(6,8 + 2,2) = 3,667 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 1,662·68 = 113 ms

منحنى الشحن

v_C(t) = 3,667·(1 − e^−50/113) = 1,311 V

الإجابة

v_C = 1,311 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 1,272 A

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.

i(0) = 15/5 = 3 A

i(∞) = 15/(5 + 22) = 0,5556 A

τ = L/R = 22/27 = 0,8148 ms

i(t) = 0,5556 + (3 − 0,5556)·e^−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(1) = 0,5556 + (2,444)·e^−1/0,8148 = 1,272 A

الإجابة

i = 1,272 A

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 240 mV

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك الحركية

ε = BLv = 0,8·0,3·1 = 0,24 V

الإجابة

ε = 240 mV

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 6 V

ق.د.ك الحث الذاتي

تعاكس ق.د.ك تغير التيار (لنز)، فإشارتها عكس إشارة ΔI؛ ومقدارها L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·1,5/0,05 = 6 V

الإجابة

ε = 6 V

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,9825 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (18,96)²) = 101,8 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 100/101,8 = 0,9825 A

الإجابة

I = 0,9825 A

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: B = 159,2 Hz

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 15,08

عرض النطاق

B = f₀/Q = 2399/15,08 = 159,2 Hz

الإجابة

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism