الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

ثلاث شحنات نقطية على خط مستقيم: +10 µC على اليسار، و −10 µC على اليمين على بعد 10 cm، و −10 µC بينهما، على بعد 5 cm من الشحنة اليسرى. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصّلة F على الشحنة الوسطى. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +10 µCq_R = −10 µCq_M = −10 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

كرتان صغيرتان متماثلتان، كتلة كلٍّ منهما 2 g، معلّقتان من النقطة نفسها بخيطين عازلين طولهما 40 cm. تُعطيان شحنتين متساويتين فيستقر كل خيط عند 10° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشحنة q على كل كرة بوحدة nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 40 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 10 ms.

V_s = 9 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 10 ms

i = A

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد التيار i₂ في R₂ عند t = 80 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 100 µFt = 80 ms

i₂ = mA

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 5 cm يحملان تيارين قدرهما 30 A و 8 A في اتجاهين متعاكسين. جد مقدار كثافة التدفق المغناطيسي B عند النقطة P في منتصف المسافة بينهما.

I₁ = 30 AI₂ = 8 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف من 250 لفة أبعاده 12 cm × 20 cm يدور في مجال منتظم قدره 0,4 T حول محور عمودي على المجال. بأي سرعة n (بالدورات في الدقيقة) يجب أن يدور ليعطي ق.د.ك فعالة (rms) قدرها 319,9 V؟

N = 250A = 12 cm × 20 cmB = 0,4 TE_rms = 319,9 V

n = rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 10 mH يجب أن ترنّ عند 200 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 200 HzL = 10 mH

C = µF

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 1 µF

I = A

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 719,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة من كل شحنة

اليمين موجب.

F_L = −k·10·10 × 10⁻¹²/0,05² = −359,6 N

F_R = −k·10·10 × 10⁻¹²/0,05² = −359,6 N

القوة المحصّلة

F = −359,6 + (−359,6) = −719,2 N → |F| = 719,2 N

الإجابة

F = 719,2 N

القوة المحصّلة تتجه إلى اليسار.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: q = 86,18 nC

القوة الكهربائية من الاتزان

الجزء الأفقي من الشدّ يوازن F، وجزؤه الرأسي يوازن m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

المسافة الفاصلة

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 10° = 0,1389 m

الشحنة

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1389·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 8,618 × 10⁻⁸ C = 86,18 nC

الإجابة

q = 86,18 nC

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 2,659 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 4 + 2,769 = 6,769 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/6,769 = 2,659 A

الإجابة

I_R1 = 2,659 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,1927 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 9,07 Ω

R₃ + 9,07 = 34,07 Ω

R₂ ∥ 34,07 = 15,95 Ω

R_eq = R₁ + 15,95 = 10 + 15,95 = 25,95 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/25,95 = 0,1927 A

الإجابة

I_R1 = 0,1927 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,7928 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 9/10 = 0,9 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,9·(1 − e^−10/4,7) = 0,7928 A

الإجابة

i = 0,7928 A

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i₂ = 0,6837 mA

جهد المكثّف الابتدائي

في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.

v_C(0) = 12·2,2/(10 + 2,2) = 2,164 V

الثابت الزمني بعد فتح المفتاح

τ = R₂·C = 2,2·100 = 220 ms

التفريغ

v_C(t) = 2,164·e^−80/220 = 1,504 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,504/2,2 = 0,6837 mA

الإجابة

i₂ = 0,6837 mA

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: B = 304 µT

المجال المغناطيسي للتيارات: حول سلك مستقيم طويل تكون خطوط المجال دوائر (قاعدة قبضة اليد اليمنى) مع B = μ₀I/(2πr). وعند مركز ملف دائري مسطح من N لفة، B = μ₀NI/(2R). وداخل ملف لولبي طويل يكون المجال منتظمًا، B = μ₀nI مع n = N/L لفة لكل متر، أيًّا كان نصف القطر. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. اعمل بوحدات SI (الأمتار والأمبيرات)، واجمع مجالات عدة مصادر كمتجهات.

مجال كل سلك عند P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·30/0,025 = 240 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0,025 = 64 µT

ادمج

B = B₁ + B₂ = 304 µT

الإجابة

B = 304 µT

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: n = 1800 rpm

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك العظمى

E₀ = √2·E_rms = 452,4 V

السرعة الزاوية

ω = E₀/(NBA) = 452,4/(250·0,4·0,024) = 188,5 rad/s

الدورات في الدقيقة

n = 60·188,5/(2π) = 1800 rpm

الإجابة

n = 1800 rpm

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 63,33 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,01) = 63,33 µF

الإجابة

C = 63,33 µF

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2069 A

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−481,6)²) = 483,3 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 100/483,3 = 0,2069 A

الإجابة

I = 0,2069 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism