الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم
F = k·|q1q2|/r²
مجال شحنة نقطية
E = k·|q|/r²
الثابت
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة
F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي
Req = R1 + R2 + …
مقاومات على التوازي
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
مقاومتان على التوازي
Req = R1R2 / (R1 + R2)
قانون أوم
V = I·R
القدرة
P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

  1. ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
  2. اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
  4. كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل
B = μ0I/(2πr)
مركز ملف مسطح
B = μ0NI/(2R)
ملف لولبي طويل
B = μ0nI, n = N/L
الثابت
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك
F = BIL·sin θ
القوة على شحنة
F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية
F/L = μ0I1I2/(2πd)
التدفق
Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي
ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك
ε = BLv
مولّد
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
المحاثّة
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
منتقي السرعة والمطياف
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

  1. حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
  2. اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
  3. للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
  4. جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة
++4 µC−−2 µCP40 cm

شحنة مقدارها +4 µC وشحنة مقدارها −2 µC تفصل بينهما مسافة 40 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 16 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q1 = +4 µCq2 = −2 µCr1 = 16 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة
8 cm8 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +2 µC

ثلاث شحنات نقطية موجبة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية: q₃ = 3 µC عند رأس الزاوية القائمة، و q₁ = 5 µC على بعد 8 cm منها على أحد الضلعين، و q₂ = 2 µC على بعد 8 cm منها على الضلع الآخر. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصلة F على q₃.

q1 = 5 µCq2 = 2 µCq3 = 3 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

أوجد المقاومة المكافئة Req التي يراها المصدر V1.

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​8 Ω

أوجد التيار IR2 عبر R2.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 ΩR5 = 25 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 10 kΩC33 µF+−vC​

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 40 ms.

Vs = 12 VR1 = 2,2 kΩR2 = 10 kΩC = 33 µFt = 40 ms
vC = V
6.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​9 Vيُفتح عند t = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩC68 µF+−vC​

المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 200 ms.

Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 68 µFt = 200 ms
vC = V
7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة
20 A5 Ad = 12 cm

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 12 cm يحملان تيارين قدرهما 20 A و 5 A في اتجاهين متعاكسين. جد القوة لكل متر من الطول F/L بينهما.

I1 = 20 AI2 = 5 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة
Bn = 300 rpm8 cm × 25 cmN = 250B = 0,4 T

ملف من 250 لفة أبعاده 8 cm × 25 cm يدور بسرعة 300 rpm في مجال منتظم قدره 0,4 T حول محور عمودي على المجال. جد ق.د.ك العظمى E0.

N = 250A = 8 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 300 rpm
E0 = V
9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
12 V200 HzR = 50 ΩC = 4,7 µFI

مقاومة ومكثّف موصولان على التوازي على مصدر 12 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 4,7 µF
I = A
10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
50 V50 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 40 ΩC = 47 µF

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 20 ΩR2 = 40 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 1,717 × 10⁶ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,16² = 1,405 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |1,405 × 10⁶ + 312153| = 1,717 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 1,717 × 10⁶ N/C
2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 22,69 N

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

كل قوة على q₃

F1 = k·5·3 × 10⁻¹²/0,08² = 21,07 N
F2 = k·2·3 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

المجموع المتجهي

F = √(21,07² + 8,428²) = 22,69 N

الإجابة

F = 22,69 N
3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: Req = 14,47 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2,471 Ω
Req = R1 + 2,471 = 12 + 2,471 = 14,47 Ω

الإجابة

Req = 14,47 Ω
4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: IR2 = 0,483 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R5 + R6 = 25 + 8 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 3,568 Ω
R3 + 3,568 = 13,57 Ω
R2 ∥ 13,57 = 8,084 Ω
Req = R1 + 8,084 = 12 + 8,084 = 20,08 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا Req، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

IR1 = V1/Req = 24/20,08 = 1,195 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,195·12 = 9,66 V
IR2 = VA/R2 = 9,66/20 = 0,483 A

الإجابة

IR2 = 0,483 A
5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 4,814 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد Rth؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·10/(2,2 + 10) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 12·10/(2,2 + 10) = 9,836 V

الثابت الزمني

τ = Rth·C = 1,803·33 = 59,51 ms

منحنى الشحن

vC(t) = 9,836·(1 − e−40/59,51) = 4,814 V

الإجابة

vC = 4,814 V
6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vC = 2,833 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

جهد المكثّف الابتدائي

في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.

vC(0) = 9·3,3/(1 + 3,3) = 6,907 V

الثابت الزمني بعد فتح المفتاح

τ = R2·C = 3,3·68 = 224,4 ms

التفريغ

vC(t) = 6,907·e−200/224,4 = 2,833 V

الإجابة

vC = 2,833 V
7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F/L = 166,7 µN/m

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

القوة لكل متر

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·5/0,12 = 166,7 µN/m

الإجابة

F/L = 166,7 µN/m

التيارات في اتجاهين متعاكسين تتنافر.

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: E0 = 62,83 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

السرعة الزاوية والمساحة

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
A = 0,02 m²

ق.د.ك العظمى

E₀ = NBAω = 250·0,4·0,02·31,42 = 62,83 V

الإجابة

E0 = 62,83 V
9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2502 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

IR = V/R = 12/50 = 0,24 A
IX = V/XC = 12/169,3 = 0,07087 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(IR² + IX²) = √(0,24² + 0,07087²) = 0,2502 A

الإجابة

I = 0,2502 A
10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 52,65 Ω

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 29,66 − j17,51 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 20 + 29,66 − j17,51 = 49,66 − j17,51 Ω
|Z| = √(49,66² + 17,51²) = 52,65 Ω

الإجابة

|Z| = 52,65 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism