الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

ثلاث شحنات نقطية على خط مستقيم: −4 µC على اليسار، و +5 µC على اليمين على بعد 10 cm، و −8 µC بينهما، على بعد 6 cm من الشحنة اليسرى. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصّلة F على الشحنة الوسطى. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +5 µCq_M = −8 µCr_L = 6 cmr_R = 4 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 2 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 6 cm والمجال بينهما 1400 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد v_L على الملف عند t = 2 ms.

V_s = 12 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms

v_L = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد تيار الملف i عند t = 1 ms.

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 6 cm يحملان تيارين قدرهما 30 A و 15 A في اتجاهين متعاكسين. جد مقدار كثافة التدفق المغناطيسي B عند النقطة P في منتصف المسافة بينهما.

I₁ = 30 AI₂ = 15 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف لولبي هوائي القلب طويل له 400 لفة وطوله 25 cm وقطره 2,5 cm. جد حثه الذاتي L.

N = 400l = 25 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 304,7 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة من كل شحنة

اليمين موجب.

F_L = +k·4·8 × 10⁻¹²/0,06² = 79,91 N

F_R = +k·5·8 × 10⁻¹²/0,04² = 224,7 N

القوة المحصّلة

F = 79,91 + (224,7) = 304,7 N → |F| = 304,7 N

الإجابة

F = 304,7 N

القوة المحصّلة تتجه إلى اليمين.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 1,108 mm

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,06/2 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1400/9,109 × 10⁻³¹ = 2,462 × 10¹⁴ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·2,462 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,001108 m = 1,108 mm

الإجابة

y = 1,108 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,4167 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 6 + 4,286 = 10,29 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10,29 = 1,458 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,458·6 = 6,25 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,25/15 = 0,4167 A

الإجابة

I_R2 = 0,4167 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 15,36 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 4,952 Ω

R₃ + 4,952 = 14,95 Ω

R₂ ∥ 14,95 = 9,356 Ω

R_eq = R₁ + 9,356 = 6 + 9,356 = 15,36 Ω

الإجابة

R_eq = 15,36 Ω

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_L = 3,163 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 12/100 = 0,12 A

جهد الملف

عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−2/1,5 = 3,163 V

الإجابة

v_L = 3,163 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,56 A

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.

i(0) = 24/22 = 1,091 A

i(∞) = 24/(22 + 33) = 0,4364 A

τ = L/R = 33/55 = 0,6 ms

i(t) = 0,4364 + (1,091 − 0,4364)·e^−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(1) = 0,4364 + (0,6545)·e^−1/0,6 = 0,56 A

الإجابة

i = 0,56 A

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: B = 300 µT

المجال المغناطيسي للتيارات: حول سلك مستقيم طويل تكون خطوط المجال دوائر (قاعدة قبضة اليد اليمنى) مع B = μ₀I/(2πr). وعند مركز ملف دائري مسطح من N لفة، B = μ₀NI/(2R). وداخل ملف لولبي طويل يكون المجال منتظمًا، B = μ₀nI مع n = N/L لفة لكل متر، أيًّا كان نصف القطر. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. اعمل بوحدات SI (الأمتار والأمبيرات)، واجمع مجالات عدة مصادر كمتجهات.

مجال كل سلك عند P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·30/0,03 = 200 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·15/0,03 = 100 µT

ادمج

B = B₁ + B₂ = 300 µT

الإجابة

B = 300 µT

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: L = 394,8 µH

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

المقطع العرضي

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

الحث الذاتي

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,0004909/0,25 = 0,0003948 H = 394,8 µH

الإجابة

L = 394,8 µH

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 82,78 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (118,4)²) = 119,4 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(118,4/15) = 82,78°

الإجابة

φ = 82,78°

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 13,24 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−3,349)²) = 60,09 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/60,09 = 0,832 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,832·15,92 = 13,24 V

الإجابة

V_C = 13,24 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism