الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

كرتان معدنيتان صغيرتان متماثلتان تحملان شحنتين مقدارهما −5 µC و +6 µC. تُلامَسان ثم تُعادان إلى مسافة 15 cm بينهما. أوجد مقدار القوة F بينهما الآن. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +6 µCr = 15 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

ثلاث شحنات نقطية موجبة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية: q₃ = 4 µC عند رأس الزاوية القائمة، و q₁ = 8 µC على بعد 8 cm منها على أحد الضلعين، و q₂ = 4 µC على بعد 10 cm منها على الضلع الآخر. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصلة F على q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 4 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R₂. أوجد تيار الملف i عند t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 47 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 4 cm يحملان تيارين قدرهما 5 A و 12 A في الاتجاه نفسه. جد القوة لكل متر من الطول F/L بينهما.

I₁ = 5 AI₂ = 12 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يتغير التيار في محث قدره 500 mH بانتظام من 2 A إلى 2,5 A خلال 20 ms. جد مقدار ق.د.ك الحث الذاتي ε.

L = 500 mH2 A → 2,5 AΔt = 20 ms

ε = V

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 4,7 µF يجب أن ترنّ عند 50 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 50 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 0,09989 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الشحنة بعد التلامس

q′ = (−5 + 6)/2 = 0,5 µC

القوة الجديدة

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,09989 N

الإجابة

F = 0,09989 N

الكرتان الآن لهما الإشارة نفسها، لذا تتنافران.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 47,2 N

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

كل قوة على q₃

F₁ = k·8·4 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N

F₂ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,1² = 14,38 N

المجموع المتجهي

F = √(44,95² + 14,38²) = 47,2 N

الإجابة

F = 47,2 N

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 3,414 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω

R_eq = R₁ + 2,64 = 2 + 2,64 = 4,64 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/4,64 = 3,879 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3,879·2 = 10,24 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,24/3 = 3,414 A

الإجابة

I_R2 = 3,414 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,2409 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 2,1 Ω

R₃ + 2,1 = 27,1 Ω

R₂ ∥ 27,1 = 11,51 Ω

R_eq = R₁ + 11,51 = 30 + 11,51 = 41,51 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/41,51 = 0,2409 A

الإجابة

I_R1 = 0,2409 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,1574 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0,4 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4·(1 − e^−5/10) = 0,1574 A

الإجابة

i = 0,1574 A

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,5987 A

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.

i(0) = 12/(15 + 47) = 0,1935 A

i(∞) = 12/15 = 0,8 A

τ = L/R = 68/15 = 4,533 ms

i(t) = 0,8 + (0,1935 − 0,8)·e^−t/τ

التيار في اللحظة المعطاة

i(5) = 0,8 + (−0,6065)·e^−5/4,533 = 0,5987 A

الإجابة

i = 0,5987 A

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F/L = 300 µN/m

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

القوة لكل متر

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·12/0,04 = 300 µN/m

الإجابة

F/L = 300 µN/m

التيارات في الاتجاه نفسه تتجاذب.

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: ε = 12,5 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك الحث الذاتي

تعاكس ق.د.ك تغير التيار (لنز)، فإشارتها عكس إشارة ΔI؛ ومقدارها L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,5·0,5/0,02 = 12,5 V

الإجابة

ε = 12,5 V

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 2156 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·4,7·10⁻⁶) = 2156 mH

الإجابة

L = 2156 mH

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 122,9 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−246,4)²) = 259,1 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 120/259,1 = 0,4632 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,4632·265,3 = 122,9 V

الإجابة

V_C = 122,9 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism