الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنة مقدارها +3 µC وشحنة مقدارها −2 µC تفصل بينهما مسافة 10 cm. تقع النقطة P على الخط الواصل بينهما، على بعد 2,5 cm من الشحنة الأولى. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P.

q₁ = +3 µCq₂ = −2 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

شحنتان مقدارهما +5 µC و −5 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 12 cm. تقع النقطة P على بعد 6 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −5 µCd = 12 cmh = 6 cm

E = N/C

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يحمل الملف تيارًا مستقرًا 0,5 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. كم يستغرق التيار لينخفض إلى 0,25 A؟ أوجد t.

i(0) = 0,5 AR = 33 ΩL = 220 mH

t = ms

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 3 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 80 ms.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 Vt = 80 ms

v_C = V

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

يتحرك إلكترون بسرعة 5 × 10⁶ m/s عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم قدره 10 mT. جد نصف القطر r لمساره الدائري.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 10 mT

r = cm

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف من 200 لفة أبعاده 15 cm × 15 cm يدور بسرعة 1800 rpm في مجال منتظم قدره 0,4 T حول محور عمودي على المجال. جد القيمة الفعالة E_rms للق.د.ك.

N = 200A = 15 cm × 15 cmB = 0,4 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد معامل القدرة cos φ للدائرة.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 100 µF

cos φ =

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 4,635 × 10⁷ N/C

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

مجال كل شحنة

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,025² = 4,315 × 10⁷ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C

الاتجاهات والمجموع

يتجه المجال الأول بعيدًا عن الشحنة الموجبة والثاني نحو الشحنة السالبة: كلاهما في الاتجاه نفسه.

E = |4,315 × 10⁷ + 3,196 × 10⁶| = 4,635 × 10⁷ N/C

الإجابة

E = 4,635 × 10⁷ N/C

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 8,829 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(6² + 6²) = 8,485 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,08485² = 6,243 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد المنصّف.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·6,243 × 10⁶·0,7071 = 8,829 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 8,829 × 10⁶ N/C

يتجه المجال موازيًا للخط من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,4378 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6,429 Ω

R_eq = R₁ + 6,429 = 20 + 6,429 = 26,43 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/26,43 = 0,6811 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,6811·20 = 4,378 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,378/10 = 0,4378 A

الإجابة

I_R2 = 0,4378 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,7714 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4,235 Ω

R_eq = R₁ + 4,235 = 4 + 4,235 = 8,235 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,235 = 1,457 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,457·4 = 6,171 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,171/8 = 0,7714 A

الإجابة

I_R2 = 0,7714 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 4,621 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,25)

t = 6,667·ln(2) = 4,621 ms

الإجابة

t = 4,621 ms

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 6,658 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 15 + (3 − 15)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(80) = 15 + (−12)·e^−80/220 = 6,658 V

الإجابة

v_C = 6,658 V

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,2843 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

موازنة القوى

القوة المغناطيسية عمودية دائمًا على السرعة، لذا تحني المسار إلى دائرة.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

نصف القطر

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01) = 0,002843 m = 0,2843 cm

الإجابة

r = 0,2843 cm

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: E_rms = 239,9 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

السرعة الزاوية والمساحة

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,0225 m²

ق.د.ك العظمى

E₀ = NBAω = 200·0,4·0,0225·188,5 = 339,3 V

القيمة الفعالة

E_rms = 339,3/√2 = 239,9 V

الإجابة

E_rms = 239,9 V

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: cos φ = 0,8884

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 62,83 Ω, X_C = 31,83 Ω

المعاوقة

|Z| = √(60² + (31)²) = 67,54 Ω

معامل القدرة

cos φ = R/|Z| = 60/67,54 = 0,8884

الدائرة حثية، لذا معامل القدرة متأخّر.

الإجابة

cos φ = 0,8884

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 355,9 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

الإجابة

f₀ = 355,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism