الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنتان مقدارهما +5 µC و +8 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 30 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +5 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCd = 30 cm

x = cm

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

شحنتان مقدارهما +6 µC و −6 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 20 cm. تقع النقطة P على بعد 3 cm من منتصف المسافة بينهما، على المنصّف العمودي. أوجد مقدار المجال الكهربائي E عند P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 75% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 220 mH

t = ms

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 9 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 5,4 V، بعد 500 ms بالضبط من البداية. مع R = 1 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 500 msR = 1 kΩ

C = µF

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

قضيب معدني طوله 50 cm ينزلق بسرعة 2,5 m/s على سكتين في مجال منتظم قدره 0,5 T داخل الصفحة. السكتان موصولتان بمقاومة 2,5 Ω؛ ومقاومة القضيب والسكتين مهملة. جد القوة F اللازمة لإبقاء القضيب يتحرك بسرعة ثابتة (دون احتكاك).

B = 0,5 TL = 50 cmv = 2,5 m/sR = 2,5 Ω

F = mN

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يبدأ بروتون من السكون، ويُسرَّع عبر فرق جهد 2500 V ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا قدره 0,8 T بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره في المجال.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,8 T

r = cm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 1 µF يجب أن ترنّ عند 2000 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 2000 HzC = 1 µF

L = mH

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 13,25 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

5/x² = 8/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(8/5) = 1,265

الموضع

x = 30/(1 + 1,265) = 13,25 cm

الإجابة

x = 13,25 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: E = 9,48 × 10⁶ N/C

المسافة ومجال شحنة واحدة

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1044² = 4,949 × 10⁶ N/C

المركّبات

تُلغى المركّبات على امتداد المنصّف.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·4,949 × 10⁶·0,9578 = 9,48 × 10⁶ N/C

الإجابة

E = 9,48 × 10⁶ N/C

يتجه المجال موازيًا للخط من الشحنة الموجبة نحو الشحنة السالبة.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 0,2129 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω

R_eq = R₁ + 8,182 = 20 + 8,182 = 28,18 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/28,18 = 0,2129 A

الإجابة

I_R1 = 0,2129 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 22,32 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 20 + 10 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 3,529 Ω

R₃ + 3,529 = 5,529 Ω

R₂ ∥ 5,529 = 2,321 Ω

R_eq = R₁ + 2,321 = 20 + 2,321 = 22,32 Ω

الإجابة

R_eq = 22,32 Ω

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 6,1 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0,12 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −4,4·ln(0,25) = 6,1 ms

الإجابة

t = 6,1 ms

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 545,7 µF

الثابت الزمني المطلوب

5,4 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 500/0,9163 = 545,7 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 545,7/1 = 545,7 µF

الإجابة

C = 545,7 µF

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F = 62,5 mN

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

ق.د.ك الحركية

ε = BLv = 0,5·0,5·2,5 = 0,625 V

التيار

I = ε/R = 0,625/2,5 = 0,25 A

قوة الكبح

قانون لنز: القوة المؤثرة في التيار المحثوث تعاكس الحركة.

F = BIL = 0,5·0,25·0,5 = 0,0625 N

الإجابة

F = 62,5 mN

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,9033 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

السرعة بعد التسارع

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s

نصف القطر في المجال

r = mv/(|q|B) = 0,009033 m = 0,9033 cm

الإجابة

r = 0,9033 cm

بالدمج: r = √(2mV/|q|)/B، لذا تتحرك الأيونات الأثقل ذات الشحنة نفسها على دوائر أكبر؛ وبهذا تُفصل النظائر.

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 6,333 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·1·10⁻⁶) = 6,333 mH

الإجابة

L = 6,333 mH

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 239,9 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·22·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

الإجابة

f₀ = 239,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism