الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

ثلاث شحنات نقطية على خط مستقيم: +3 µC على اليسار، و +8 µC على اليمين على بعد 30 cm، و −6 µC بينهما، على بعد 22,5 cm من الشحنة اليسرى. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصّلة F على الشحنة الوسطى. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +8 µCq_M = −6 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

ثلاث شحنات نقطية موجبة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية: q₃ = 3 µC عند رأس الزاوية القائمة، و q₁ = 8 µC على بعد 3 cm منها على أحد الضلعين، و q₂ = 6 µC على بعد 10 cm منها على الضلع الآخر. أوجد مقدار القوة الكهربائية المحصلة F على q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 9 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 8,1 V، بعد 250 ms بالضبط من البداية. مع C = 1 µF، أوجد المقاومة R المطلوبة.

V_s = 9 VV_th = 8,1 VT = 250 msC = 1 µF

R = kΩ

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

سلكان متوازيان طويلان يبعد أحدهما عن الآخر 5 cm يحملان تيارين قدرهما 20 A و 5 A في اتجاهين متعاكسين. جد القوة لكل متر من الطول F/L بينهما.

I₁ = 20 AI₂ = 5 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يبدأ بروتون من السكون، ويُسرَّع عبر فرق جهد 1000 V ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا قدره 0,5 T بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره في المجال.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,5 T

r = cm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة وملف موصولان على التوازي على مصدر 100 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 50 mH

φ = °

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 73,52 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

القوة من كل شحنة

اليمين موجب.

F_L = −k·3·6 × 10⁻¹²/0,225² = −3,196 N

F_R = +k·8·6 × 10⁻¹²/0,075² = 76,71 N

القوة المحصّلة

F = −3,196 + (76,71) = 73,52 N → |F| = 73,52 N

الإجابة

F = 73,52 N

القوة المحصّلة تتجه إلى اليمين.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 240,3 N

قانون كولوم: تتجاذب شحنتان نقطيتان أو تتنافران بقوة F = k·|q₁·q₂|/r²، حيث k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². مجال الشحنة النقطية E = k·|q|/r²، ويتجه بعيدًا عن الشحنة الموجبة ونحو الشحنة السالبة. القوى والمجالات الناتجة عن عدة شحنات تُجمع جمعًا متجهيًا.

كل قوة على q₃

F₁ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0,1² = 16,18 N

المجموع المتجهي

F = √(239,7² + 16,18²) = 240,3 N

الإجابة

F = 240,3 N

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 1,117 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 5 + 3,059 = 8,059 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8,059 = 1,117 A

الإجابة

I_R1 = 1,117 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,5011 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,091 Ω

R₃ + 5,091 = 10,09 Ω

R₂ ∥ 10,09 = 5,023 Ω

R_eq = R₁ + 5,023 = 5 + 5,023 = 10,02 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10,02 = 0,9977 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,9977·5 = 5,011 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,011/10 = 0,5011 A

الإجابة

I_R2 = 0,5011 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,3231 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0,4255 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4255·(1 − e^−1/0,7021) = 0,3231 A

الإجابة

i = 0,3231 A

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: R = 108,6 kΩ

الثابت الزمني المطلوب

8,1 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 8,1))

τ = 250/2,303 = 108,6 ms

المقاومة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

R = τ/C = 108,6/1 = 108,6 kΩ

الإجابة

R = 108,6 kΩ

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: F/L = 400 µN/m

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

القوة لكل متر

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·5/0,05 = 400 µN/m

الإجابة

F/L = 400 µN/m

التيارات في اتجاهين متعاكسين تتنافر.

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,914 cm

السرعة بعد التسارع

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

نصف القطر في المجال

r = mv/(|q|B) = 0,00914 m = 0,914 cm

الإجابة

r = 0,914 cm

بالدمج: r = √(2mV/|q|)/B، لذا تتحرك الأيونات الأثقل ذات الشحنة نفسها على دوائر أكبر؛ وبهذا تُفصل النظائر.

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 72,56 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_L = ωL = 2π·100·0,05 = 31,42 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 100/100 = 1 A

I_X = V/X_L = 100/31,42 = 3,183 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 3,183²) = 3,336 A

زاوية الطور

تيار الملف يتأخّر عن V، لذا يتأخّر التيار الكلي وتكون الزاوية موجبة.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(3,183/1) = 72,56°

الإجابة

φ = 72,56°

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 151,7 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·22·10⁻⁶)) = 151,7 Hz

الإجابة

f₀ = 151,7 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism