الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

كرتان معدنيتان صغيرتان متماثلتان تحملان شحنتين مقدارهما +1 µC و −4 µC. تُلامَسان ثم تُعادان إلى مسافة 5 cm بينهما. أوجد مقدار القوة F بينهما الآن. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −4 µCr = 5 cm

F = N

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 1,5 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 6 cm والمجال بينهما 4300 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الثابت الزمني τ للدائرة بعد إغلاق المفتاح.

V_s = 15 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 12 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 7,2 V، بعد 250 ms بالضبط من البداية. مع C = 100 µF، أوجد المقاومة R المطلوبة.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 250 msC = 100 µF

R = kΩ

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

يتحرك بروتون بسرعة 2,5 × 10⁶ m/s عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم قدره 1 T. جد نصف القطر r لمساره الدائري.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 1 T

r = cm

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

يبدأ بروتون من السكون، ويُسرَّع عبر فرق جهد 1000 V ثم يدخل مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا قدره 0,8 T بزاوية قائمة. جد نصف القطر r لمساره في المجال.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,8 T

r = cm

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد معامل القدرة cos φ للدائرة.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF

cos φ =

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

V_C = V

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: F = 8,091 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

الشحنة بعد التلامس

q′ = (1 + −4)/2 = −1,5 µC

القوة الجديدة

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 8,091 N

الإجابة

F = 8,091 N

الكرتان الآن لهما الإشارة نفسها، لذا تتنافران.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 6,05 mm

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,06/1,5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4300/9,109 × 10⁻³¹ = 7,562 × 10¹⁴ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·7,562 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,00605 m = 6,05 mm

الإجابة

y = 6,05 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,4409 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9,767 Ω

R_eq = R₁ + 9,767 = 5 + 9,767 = 14,77 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14,77 = 0,6772 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6772·5 = 6,614 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,614/15 = 0,4409 A

الإجابة

I_R2 = 0,4409 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 17,21 Ω

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 12 + 30 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 8,077 Ω

R₃ + 8,077 = 18,08 Ω

R₂ ∥ 18,08 = 7,212 Ω

R_eq = R₁ + 7,212 = 10 + 7,212 = 17,21 Ω

الإجابة

R_eq = 17,21 Ω

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: τ = 166,2 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف

اقصر المصدر لإيجاد R_th؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·6,8/(2,2 + 6,8) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 15·6,8/(2,2 + 6,8) = 11,33 V

الثابت الزمني

τ = R_th·C = 1,662·100 = 166,2 ms

الإجابة

τ = 166,2 ms

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: R = 2,728 kΩ

الثابت الزمني المطلوب

7,2 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 250/0,9163 = 272,8 ms

المقاومة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

R = τ/C = 272,8/100 = 2,728 kΩ

الإجابة

R = 2,728 kΩ

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 2,611 cm

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

موازنة القوى

القوة المغناطيسية عمودية دائمًا على السرعة، لذا تحني المسار إلى دائرة.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

نصف القطر

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 0,02611 m = 2,611 cm

الإجابة

r = 2,611 cm

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: r = 0,5713 cm

السرعة بعد التسارع

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

نصف القطر في المجال

r = mv/(|q|B) = 0,005713 m = 0,5713 cm

الإجابة

r = 0,5713 cm

بالدمج: r = √(2mV/|q|)/B، لذا تتحرك الأيونات الأثقل ذات الشحنة نفسها على دوائر أكبر؛ وبهذا تُفصل النظائر.

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: cos φ = 0,3228

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 314,2 Ω, X_C = 79,58 Ω

المعاوقة

|Z| = √(80² + (234,6)²) = 247,8 Ω

معامل القدرة

cos φ = R/|Z| = 80/247,8 = 0,3228

الدائرة حثية، لذا معامل القدرة متأخّر.

الإجابة

cos φ = 0,3228

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 7,297 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (31)²) = 104,7 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/104,7 = 0,2292 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,2292·31,83 = 7,297 V

الإجابة

V_C = 7,297 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism