الفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قانون كولوم والمجالات الكهربائية

قانون كولوم: F = k·|q₁q₂|/r²
مجال شحنة نقطية: E = k·|q|/r²
الثابت: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
القوة على شحنة: F = q·E

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

المجالات المغناطيسية والحث

سلك مستقيم طويل: B = μ₀I/(2πr)
مركز ملف مسطح: B = μ₀NI/(2R)
ملف لولبي طويل: B = μ₀nI, n = N/L
الثابت: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
القوة على سلك: F = BIL·sin θ
القوة على شحنة: F = |q|vB·sin θ
الحركة الدائرية: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
أسلاك متوازية: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
التدفق: Φ = BA·cos θ
قانون فاراداي: ε = −N·ΔΦ/Δt
قضيب متحرك: ε = BLv
مولّد: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
المحاثّة: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
الحث التبادلي: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
منتقي السرعة والمطياف: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

الطريقة

حوّل كل كمية إلى وحدات SI: cm إلى m، و cm² إلى m²، و mT و µT إلى T.
اختر الصيغة الصحيحة: B = μ₀I/(2πr) لسلك، و μ₀NI/(2R) لمركز ملف، و μ₀nI داخل ملف لولبي؛ و F = BIL·sin θ أو |q|vB·sin θ للقوى.
للحث، جد تغير التدفق ΔΦ = Δ(BA·cos θ) واستخدم ε = N·ΔΦ/Δt، أو ε = BLv لقضيب متحرك و NBAω لملف دوّار.
جد الاتجاهات على حدة بقواعد اليد اليمنى، وبقانون لنز للتيارات المحثوثة.

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

2مسائل تدريبية

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةمتوسطة

شحنتان مقدارهما +10 µC و +3 µC تبعد إحداهما عن الأخرى 100 cm. على أيّ بعد x من الشحنة +10 µC، على الخط بينهما، يكون المجال الكهربائي صفرًا؟

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCd = 100 cm

x = cm

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائيةصعبة

يدخل إلكترون المجال المنتظم بين لوحين متوازيين متحرّكًا موازيًا لهما بسرعة 1 × 10⁷ m/s. طول اللوحين 6 cm والمجال بينهما 300 N/C. شحنة الإلكترون 1,602 × 10⁻¹⁹ C، وكتلته 9,109 × 10⁻³¹ kg؛ أهمل الجاذبية. ما مقدار انحرافه الجانبي y عندما يغادر اللوحين؟ أعطِ الإجابة بوحدة mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R1 الذي يورّده المصدر، والذي يمرّ عبر R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد v_L على الملف عند t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد التيار i₂ في R₂ عند t = 120 ms.

V_s = 24 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 120 ms

i₂ = mA

7.المجالات المغناطيسية والحثمتوسطة

يدخل إلكترون يتحرك بسرعة 4 × 10⁶ m/s مجالًا مغناطيسيًا منتظمًا بزاوية قائمة ويتحرك على دائرة نصف قطرها 0,4549 cm. جد كثافة التدفق المغناطيسي B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sr = 0,4549 cm

B = mT

8.المجالات المغناطيسية والحثصعبة

ملف من 150 لفة أبعاده 10 cm × 25 cm يدور بسرعة 900 rpm في مجال منتظم قدره 0,05 T حول محور عمودي على المجال. جد القيمة الفعالة E_rms للق.د.ك.

N = 150A = 10 cm × 25 cmB = 0,05 Tn = 900 rpm

E_rms = V

9.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

10.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 50 Ω و L = 100 mH و C = 1 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

B = Hz

3المحاليل

1.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: x = 64,61 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

تساوي المجالين

10/x² = 3/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(3/10) = 0,5477

الموضع

x = 100/(1 + 0,5477) = 64,61 cm

الإجابة

x = 64,61 cm

نقطة الصفر دائمًا أقرب إلى الشحنة الأصغر.

2.قانون كولوم والمجالات الكهربائية

الإجابة: y = 0,9497 mm

الزمن بين اللوحين

t = L/v₀ = 0,06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

التسارع الجانبي

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·300/9,109 × 10⁻³¹ = 5,276 × 10¹³ m/s²

الترخيم

y = ½·a·t² = ½·5,276 × 10¹³·(6 × 10⁻⁹)² = 0,0009497 m = 0,9497 mm

الإجابة

y = 0,9497 mm

يُدفع الإلكترون نحو اللوح الموجب، عكس اتجاه المجال.

3.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 1,125 A

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 4 + 4 = 8 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8 = 1,125 A

الإجابة

I_R1 = 1,125 A

4.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R1 = 7,481 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3,429 Ω

R₃ + 3,429 = 6,429 Ω

R₂ ∥ 6,429 = 2,813 Ω

R_eq = R₁ + 2,813 = 2 + 2,813 = 4,813 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/4,813 = 7,481 A

الإجابة

I_R1 = 7,481 A

5.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_L = 1,19 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

جهد الملف

عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/3,091 = 1,19 V

الإجابة

v_L = 1,19 V

6.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i₂ = 2,02 mA

جهد المكثّف الابتدائي

في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.

v_C(0) = 24·4,7/(2,2 + 4,7) = 16,35 V

الثابت الزمني بعد فتح المفتاح

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

التفريغ

v_C(t) = 16,35·e^−120/220,9 = 9,496 V

i₂ = v_C/R₂ = 9,496/4,7 = 2,02 mA

الإجابة

i₂ = 2,02 mA

7.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: B = 5 mT

القوى المغناطيسية: يتأثر سلك مستقيم يحمل I في مجال B بالقوة F = BIL·sin θ، وتتأثر شحنة متحركة بالقوة F = |q|vB·sin θ، حيث θ الزاوية بين التيار (أو السرعة) و B. القوة عمودية على كليهما: وجّه أصابع اليد اليمنى مع I أو v، ولُفّها نحو B، فيعطي الإبهام F لشحنة موجبة؛ واعكس لشحنة سالبة. ولأن F عمودية على v، تتحرك شحنة تعبر مجالًا منتظمًا على دائرة: |q|vB = mv²/r يعطي r = mv/(|q|B) والدور T = 2πm/(|q|B)، الذي لا يعتمد على السرعة. يتجاذب سلكان متوازيان لتيارين في الاتجاه نفسه: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

المجال من نصف القطر

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·4 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,004549) = 5 mT

الإجابة

B = 5 mT

8.المجالات المغناطيسية والحث

الإجابة: E_rms = 12,5 V

الحث الكهرومغناطيسي: التدفق عبر حلقة هو Φ = BA·cos θ، حيث θ بين B والعمودي على الحلقة. قانون فاراداي: تغير التدفق يحثّ ق.د.ك = −N·dΦ/dt في ملف من N لفة، ويقول قانون لنز إن التيار المحثوث يجري بحيث يعاكس مجاله هو التغير. القضيب المتحرك عبر مجال يعطي ق.د.ك = BLv. والملف الدوّار بسرعة ω يعطي e = NBAω·sin ωt، وقيمته العظمى NBAω. الحث الذاتي: ق.د.ك = −L·di/dt، مع L = μ₀N²A/l لملف لولبي طويل، والطاقة المخزَّنة W = ½LI². ملفان مقترنان: ق.د.ك₂ = −M·di₁/dt مع M = k√(L₁L₂).

السرعة الزاوية والمساحة

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,025 m²

ق.د.ك العظمى

E₀ = NBAω = 150·0,05·0,025·94,25 = 17,67 V

القيمة الفعالة

E_rms = 17,67/√2 = 12,5 V

الإجابة

E_rms = 12,5 V

9.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,009088 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (1097)²) = 1100 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 10/1100 = 0,009088 A

الإجابة

I = 0,009088 A

10.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: B = 79,58 Hz

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(1·10⁻⁶)) = 6,325

عرض النطاق

B = f₀/Q = 503,3/6,325 = 79,58 Hz

الإجابة

B = 79,58 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism